MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Vi börjar med att beräkna summan av alla udda heltal upp till och med \(n\);
\[
S=1+3+5+7+\ldots+n
\]
där \(n\) är ett udda tal. Vi kommer att behöva det senare.

Ett udda tal kan skrivas på formen \(2k+1\) där \(k=0,1,2,\ldots\). För det sista talet \(n\) gäller
\[
n=2k+1
\quad\Leftrightarrow\quad
k=\frac{n-1}{2}.
\]

Alltså kan vi skriva alla udda heltal med hjälp av
\[
2k+1,\qquad k=0,1,2,\ldots,\frac{n-1}{2}.
\]

Vi vill beräkna
\[
S_n=\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(2k+1)
=\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(2k+1)
=2\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}k+\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}1.
\]

Summorna består av \(\frac{n-1}{2}+1\) termer (\(+1\) då vi börjar räkna \(k\) på 0). Detta kan förenklas till \(\frac{n+1}{2}\).

Den första summan är en aritmetisk summa med \(\frac{n+1}{2}\) termer och den andra summan är en summa av \(\frac{n+1}{2}\) stycken 1:or.

Vi har att
\begin{align*}
S_n
&
=2\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}k+\sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}1
\\&
=2\Bigl(0+\frac{n-1}{2}\Bigr)\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}\cdot1
\\&
=2\cdot\frac{n-1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{2}+\frac{n+1}{2}
\\&
=\frac{(n-1)(n+1)}{4}+\frac{n+1}{2}
\\&
=(n+1)\Bigl(\frac{n-1}{4}+\frac{1}{2}\Bigr)
\\&
=(n+1)\Bigl(\frac{n}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\Bigr)
\\&
=(n+1)\Bigl(\frac{n}{4}+\frac{1}{4}\Bigr)
\\&
=(n+1)\cdot\frac{n+1}{4}
\\&
=\frac{1}{4}(n+1)^2
.
\end{align*}

Betrakta nu figuren som en (risig) julgran med en ”stam” och 4 ”grenar” som går ut från stammen.

Om ”stammen” är \(n\) klossar hög, \(n\) är ett udda heltal, består en ”gren” av en ”triangel” av
\[
1+3+5+7+\ldots+(n-2)
\]
klossar.

Denna summa har vi räknat ut ovan, den är
\[
S_{n-2}
=\frac{1}{4}(n-2+1)^2
=\frac{1}{4}(n-1)^2.
\]
Notera att det är \(n-2\) och inte \(n\) som vi sätter in i vår formel.

Totalt består vår ”julgran” av
\[
y(n)
=\text{”stam”}+4\cdot\text{”grenar”}
=n+4S_{n-2}
=n+4\cdot\frac{1}{4}(n-1)^2
=n+(n-1)^2
\]
och vi får
\begin{align*}
y(3)&=3+2^2=7\\
y(5)&=5+4^2=21\\
y(9)&=9+8^2=73
\end{align*}

Wed, 31 Jan 2024 19:32 GMT