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Introduzione
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Per la risoluzione di alcuni dei problemi assegnati sono richieste alcune conoscenze non riguardanti la Matematica.

Qui di seguito do alcune indicazioni in proposito, senza accampare pretese di completezza o correttezza in senso economico, ma unicamente in senso matematico.

Problema n. 442
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Quella richiesta è la percentuale di guadagno in rapporto alla spesa/investimento iniziale, cioè alla cifra spesa per l'acquisto all'ingrosso del cappotto.

Ad esempio, se il cappotto fosse stato pagato $140$ euro e, rivendendolo, il negoziante avesse guadagnato $17$ euro, la percentuale $\gamma$ di guadagno si sarebbe calcolata impostando e risolvendo la proporzione:

$$\gamma : 100 = 17 : 140 \ \Rightarrow\ \gamma = \frac{17\cdot 100}{140} = \frac{170}{14}\approx 12.14\%$$

(ricordo che le percentuali *usualmente* si approssimano alla seconda cifra decimale)

**Osservazione:** Questa cosa vale del tutto in generale, nel senso che se una persona sostiene un investimento iniziale $I$ (espresso in valuta) ottenendo da questo un guadagno $G$ (espresso in valuta), la percentuale di guadagno $\gamma$ va calcolata in rapporto all'investimento iniziale, cioè mediante una proporzione del tipo:

$$\gamma : 100 = G : I$$

Ad esempio, se investo un capitale iniziale $I=200000$ euro guadagnando dopo un anno la quota $G = 1300$ euro, la percentuale di guadagno (detta anche *percentuale di rendimento*) è data da:

$$\gamma : 100 = 1300 : 200000\ \Rightarrow\ \gamma = \frac{1300\cdot 100}{200000} = \frac{13}{20} = 0.65\% .$$

Problema nn. 444 (e 445)
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Su alcuni beni di consumo, lo stato impone una tassa chiamata *Imposta sul Valore Aggiunto*, ossia *IVA*.

Nella vita quotidiana (escludendo, ad esempio, casi aziendali o più complessi), questa tassa si paga comprando il bene, poiché viene usualmente aggiunta direttamente al suo costo. La legislazione italiana prevede differenti *aliquote* (cioè percentuali) per l'IVA; quelle più comuni sono riassunte nella tabella seguente:

| **Aliquota** | **Tipo di bene cui è applicata** |
|-|-|
| $4\%$ |  generi alimentari di prima necessità, giornali e libri, sementi, fertilizzanti |
| $5\%$ | prestazioni sociali, sanitarie o educative di cooperative sociali |
| $10\%$ | prodotti turistici, prodotti sanitari e medicinali, alcuni prodotti alimentari, energia elettrica e gas per abitazioni e manifatture |
| $22\%$ | tutto il resto |

Allora:

* se il prezzo di un bene è **IVA esclusa**, vuol dire che al pagamento il suo costo verrà *aumentato* dell'aliquota IVA corrispondente alla tipologia di bene.
*Ad esempio*, se il prezzo **IVA esclusa** di un automobile è $P_\text{i.e.}=25000$ euro, il prezzo finale si ottiene aggiungendo a $P_\text{i.e.}$ la quantità $T$ uguale al $22\%$ di $P_\text{i.e.}$, cioè $P_\text{i.i.} = P_\text{i.e.} + T$. Per calcolare $P_\text{i.i.}$ possiamo usare la *proprietà del comporre* nella proporzione che consente di calcolare $T$: abbiamo:

$$\begin{split} T:25000 = 22 : 100\ &\stackrel{\text{pr. comp.}}{\Rightarrow}\ (\underbrace{25000 + T}_{=P_\text{i.i.}}) : 25000 = (100+22):100 \\ &\Rightarrow\ P_\text{i.i.}:25000 = 122 : 100 \\ &\Rightarrow\ P_\text{i.i.} = \frac{25000\cdot 122}{100} = 250\cdot 122 = 30500 \text{ euro.}\end{split}$$

* viceversa, se il prezzo di un bene è **IVA inclusa**, al pagamento non verrà aumentato nulla perché il costo già comprende l'IVA. Tuttavia, in questo caso si può calcolare il costo scorporato dall'IVA per conoscere il "reale" costo del bene.
*Ad esempio*, se il prezzo **IVA inclusa** di una confezione di uova fresche è $P_\text{i.i.} = 3.50$ euro, tale prezzo comprende già la quantità $T$ uguale al $4\%$ del prezzo "reale" $P_\text{i.e.}$, cioè abbiamo $P_\text{i.e.} + T = 3.50$ euro. Ma allora possiamo applicare la *proprietà del comporre* alla proporzione che usiamo per calcolare il valore di $T$ e trovare il costo "reale" $P_\text{i.e.}$: abbiamo:

$$\begin{split} T:P_\text{i.e} = 4 : 100\ &\stackrel{\text{pr. comp.}}{\Rightarrow}\ (\underbrace{P_\text{i.e.} + T}_{=3.50}) : P_\text{i.e.} = (100+4):100 \\ &\Rightarrow\ 3.50:P_\text{i.e.} = 104 : 100 \\ &\Rightarrow\ P_\text{i.e.} = \frac{3.50\cdot 100}{104} \approx 3.37 \text{ euro}\end{split}$$

**Osservazione:** Il metodo usato è molto generale e si può riassumere come segue. Supponiamo che una quantità iniziale $I$ venga variata (cioè, aumentata o diminuita) di una certa quantità $T$ corrispondente ad una percentuale $\alpha \%$ di $I$ ($\alpha$ può essere positivo o negativo); la quantità finale è data da $F = I + T$. Tra $F$ ed $I$ si può stabilire una semplice relazione applicando la *proprietà del comporre* alla proporzione che consente di calcolare $T$: abbiamo:

$$\begin{split} T:I = \alpha : 100 \ &\Rightarrow\ (\underbrace{I+T}_{=F}):I = (100+\alpha):100 \\ &\Rightarrow\ F:I = (100+\alpha):100 \end{split}$$

da cui segue:

$$\tag{*} 100\cdot F = (100 + \alpha)\cdot I.$$

Ad esempio, si sa che un certo investimento di capitale iniziale $I$ ha fruttato in un anno il $+1.70\%$ di interesse e che alla fine dell'anno il capitale disponibile è $F=113000$ euro. Sfruttando la (*) si può calcolare il capitale investito inizialmente: abbiamo:

$$(100+1.70)\cdot I = 100\cdot 113000\ \Rightarrow\ I = \frac{11300000}{101.7} \approx 111111 \text{ euro.}$$

Problema n .445
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Il problema richiede di calcolare l'aliquota IVA $\alpha\%$ cui è soggetto il bene acquistato conoscendone i due prezzi, cioè quello **IVA inclusa** $P_\text{i.i.}$ e quello **IVA esclusa** $P_\text{i.e.}$. Per fare ciò serve esprimere in percentuale la differenza $T=P_\text{i.i.} - P_\text{i.e.}$ rispetto al costo "reale" $P_\text{i.e.}$.

*Ad esempio*, se si sa che i prezzi di un bene di consumo sono $P_\text{i.i.} = 12$ euro e $P_\text{i.e.} = 10.50$ euro, l'IVA imposta su quel bene è data dalla differenza $T = 12 - 10.50 = 1.50$ euro e possiamo calcolare l'aliquota $\alpha\%$ semplicemente impostando la solita proporzione:

$$T:P_\text{i.e.} = \alpha : 100 \ \Rightarrow\ \alpha = \frac{T\cdot 100}{P_\text{i.e.}} = \frac{1.50\cdot 100}{10.50} = \frac{150}{10.50} \approx 14.30\%$$

**Osservazione:** Anche questo è un fatto abbastanza generale. Infatti se si sa che una quantità iniziale $I$ è variata (cioè, aumentata o diminuita) di una quantità $T$ corrispondente ad una certa percentuale incognita $\alpha\%$ (positiva o negativa), ottenendo alla fine una quantità nota $F$, possiamo calcolare $\alpha$ impostando e risolvendo la proporzione:

$$(F-I):I = \alpha : 100\ \Rightarrow\ \alpha = \frac{(F - I)\cdot 100}{I}.$$

Problema n. 452
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Questo problema chiede di ragionare sulla progressività delle imposte, usando i dati in tabella:

| **Aliquota** | **Scaglione di reddito** |
| - | - |
| $23\%$ | fino a $15000$ euro |
| $27\%$ | da $15000$ fino a $28000$ euro|
| $38\%$ | da $28000$ fino a $55000$ euro|

Il problema è capire come impostare il calcolo. Facciamo alcuni esempi:

* Supponiamo di avere un reddito annuo $R=14000$ euro. In tal caso, si rientra completamente nel primo scaglione (perché $R\leq 15000$) e perciò si deve versare semplicemente come imposta $T$ il $23\%$ di $R$, cioè:

$$T=\frac{23}{100}\cdot 14000 = 3220 \text{ euro.}$$

* Supponiamo di avere un reddito annuo $R=24000$. In tal caso, il reddito cade nel secondo scaglione (perché $15000 < R \leq 28000$) e il valore dell'imposta $T$ da versare è costituito da due parti:

1. la prima parte $T_1$ è il $23\%$ di $15000$ euro,

2. la seconda parte $T_2$ è il $27\%$ della differenza tra $R=24000$ e $15000$ euro;

quindi:

$$T = T_1 + T_2 = \frac{23}{100}\cdot 15000 + \frac{27}{100}\cdot 9000 = 5880 \text{ euro.}$$

* Supponiamo di avere un reddito annuo $R=42000$. In tal caso, il reddito cade nel terzo scaglione (perché $28000 < R \leq 55000$) e il valore dell'imposta $T$ da versare è costituito da due parti:

1. la prima parte $T_1$ è il $23\%$ di $15000$ euro,

2. la seconda parte $T_2$ è il $27\%$ della differenza tra $28000$ e $15000$ euro,

3. la terza parte $T_3$ è il $38\%$ della differenza tra $R=42000$ e $28000$ euro;

perciò:

$$T = T_1 + T_2 + T_3 = \frac{23}{100}\cdot 15000 + \frac{27}{100}\cdot 13000 + \frac{38}{100}\cdot 14000 = 12280 \text{ euro.}$$

Mon, 11 Nov 2024 13:51 GMT