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设 \(g(x)=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{kx}{x^2+k^2},\,k>0\) 则取 \(k=\dfrac{a}{b}\) 时有 \(f(x)=g\left(\dfrac{x}{b}\right)\)，接下来只需讨论 \(g(x)\) 的情况

不妨设 \(k>1\)，\(k<1\) 情况同理，\(k=1\) 情况平凡略。

\(g(x)\) 为奇函数，只讨论正半边，设 \(x=\tan \theta,\,\theta \in \left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，则 \(g(\theta)=\sin \theta \cos \theta \left(\dfrac{k+\sin^2 \theta+k^2 \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta+k^2 \cos^2 \theta}\right)\)

再设 \(m=(1-k^2)\sin^2 \theta + k^2 \in \left(1,\,k^2\right]\)

则

\[
\begin{aligned}
g(m)&=\dfrac{\sqrt{-m^2+(k^2+1)m-k^2}}{k^2-1}\left(\dfrac{m+k}{m}\right)\\
&=\dfrac{1}{k^2-1}\sqrt{\left[k^2+1-\left(m+\dfrac{k^2}{m}\right)\right]\left[2k+\left(m+\dfrac{k^2}{m}\right)\right]}
\end{aligned}
\]

记 \(n=m+\dfrac{k^2}{m}\in [2k,\,k^2+1]\)，里面是个二次函数 \(h(n)=(k^2+1-n)(2k+n)\)，对称轴是 \(\dfrac{(k-1)^2}{2}<k^2+1\)

只需讨论 \(2k\) 与 \(\dfrac{(k-1)^2}{2}\) 的关系：

第一种情况，若 \(2k\ge  \dfrac{(k-1)^2}{2}\)，解得 \(k\in\left (  1,\, 3+2\sqrt{2}\right ]\)，此时正半边只存在一个极值点。

第二种情况，\(k \in \left( 3+2\sqrt{2},\, +\infty  \right) \)，此时有三个极值点，代回去的过程略

综合来看的话得到答案应该是

\[
\begin{cases}
    \left(-\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+b},\,0\right)\cup\left(0,\,\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+b}\right),\,\dfrac{a}{b}\in \left [  3-2\sqrt{2},\, 3+2\sqrt{2}\right ]\\
    \left(-\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+b},\,0\right)\cup\left(0,\,\dfrac{2\sqrt{ab}}{a+b}\right)\cup\left\{-\dfrac{a+b}{2\left|  a-b\right|},\,\dfrac{a+b}{2\left|  a-b\right|}\right\},\,\dfrac{a}{b}\in\left(  0,\, 3-2\sqrt{2}\right) \cup\left( 3+2\sqrt{2},\, +\infty  \right)
\end{cases}
\]

Sat, 10 Jun 2023 09:04 GMT