MathB.in
New
Demo
Tutorial
About
**Определение 1:** Множеством значений функции $f(x)$ на интервале $X$ называется множество всех значений функции, которые она принимает при последовательной подстановке всех значений аргумента $x$, находящихся в интервале $X$. **Определение 2:** Областью значений функции $f(x)$ называется множество всех значений функции, которые она принимает при последовательной подстановке всех значений аргумента $x$, находящихся в области определения функции $f(x)$, то есть, в $D(f)$. Область значений функции $f(x)$ обозначается как $E(f)$. Если в задаче необходимо найти множество значений функции $f(x)$, но интервал не указан, значит, необходимо найти область значений функции $f(x)$. --- 1) Найти множество значений функции $y=\cos2x$. $D(y)=\mathbb{R}$. Область значений $E(y)=[-1;1]$. Внутренняя функция эту область значений ничем не ограничивает. Следовательно, это и есть ответ. Ответ: $E(y)=[-1;1]$. --- 2) Найти множество значений функции $y=\sin\bigg(x-\frac\pi3\bigg)$. $D(y)=\mathbb{R}$. Область значений $E(y)=[-1;1]$. Внутренняя функция эту область значений ничем не ограничивает. Следовательно, это и есть ответ. Ответ: $E(y)=[-1;1]$. --- 3) Найти множество значений функции $y=\cos2x+1$. $D(y)=\mathbb{R}$. Область значений функции $y=\cos2x+1$ - это смещённая на 1 область значений функции $y=\cos2x$, а область значений функции косинуса равна $[-1;1]$. Следовательно, $E(y)=[-1+1;1+1]=[0;2]$. Ответ: $[0;2]$. --- 4) Найти множество значений функции $y=2\cos2x+1$. $D(y)=\mathbb{R}$. Область значений функции $y=2\cos2x+1$ - это смещённая на 1 область значений функции $y=2\cos2x$, область значений которой - это смещённая в 2 раза область значений функции $y=\cos 2x$, а область значений функции косинуса равна $[-1;1]$. Следовательно, $E(y)=[-1\cdot2+1;1\cdot2+1]=[-1;3]$. Ответ: $[-1;3]$. --- 5) Найти множество значений функции $y=-2\sin^2\frac{x}2$. $D(y)=\mathbb{R}$. Область значений функции $y=-2\sin^2\frac{x}2$ - это смещённая в (-2) раза область значений функции $y=\sin^2\frac{x}2$. Возведение функции синуса в квадрат исключает все отрицательные значения, не изменяя положительных. Таким образом, область значений функции $y=\sin^2\frac{x}2$ равна $[0;1]$. Следовательно, $E(y)=[0\cdot(-2);1\cdot(-2)]=[0;-2]=[-2;0]$. Ответ: $[-2;0]$. (P.S.: аналогичную область значений можно получить, упростив выражение до $y=\cos x-1$, область значений которой уже более-менее очевидна). --- 6) Найти множество значений функции $y=\cos2x-2\sin^2x$. $D(y)=\mathbb{R}$. Для упрощения отыскания области значений функции преобразуем исходное выражение без нарушения области определения функции: $$\cos2x-2\sin^2x=\cos^2x-\sin^2x-2\sin^2x=\cos^2x-3\sin^2x=\\ =\cos^2x-3\sin^2x+\sin^2x+\cos^2x-\sin^2x-\cos^2x=\\ =2\cos^2x-2\sin^2x-(\sin^2x+\cos^2x)=2\cos2x-1$$ Область значений функции $y=2\cos2x-1$ - это смещённая на (-1) область значений функции $y=2\cos2x$, область значений которой - это смещённая в 2 раза область значений функции $y=\cos 2x$, а область значений функции косинуса равна $[-1;1]$. Следовательно, $E(y)=[-1\cdot2-1;1\cdot2-1]=[-3;1]$. Ответ: $[-3;1]$.
ERROR: JavaScript must be enabled to render input!
Sun, 26 Sep 2021 11:44 GMT