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**1)** Quanti sono i numeri di $6$ cifre divisibili per $33$ che siano palindromi, cioè che rimangano uguali se letti da destra verso sinistra?

Un numero palindromo di $6$ cifre è automaticamente multiplo di $11$, dunque è necessario e sufficiente che sia multiplo di $3$ il numero costituito dalle prime tre cifre. Questo può essere un qualunque multiplo di $3$ tra $100$ e $999$, dunque vi sono $\color{red}{300}$ numeri siffati.

**2)** Di un triangolo di vertici $A, B, C$ sappiamo che $AB = 5$, $BC = 4$ e $AC = AM$, dove $M$ è il punto medio del lato $BC$. Quanto vale la lunghezza del lato $AC$?

Utilizzando la notazione standard abbiamo
$$ b^2=m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} $$
dunque $$2b^2=2c^2-a^2=50-16=34$$
e si ha $b=AC=\color{red}{\sqrt{17}}$.

**3)** Quanto vale la somma delle cifre del numero $N=20^{21}+(10^{2021}+21)^2$?

Abbiamo $N= 2^{21}\cdot 10^{21} + 10^{4042} + 42\cdot 10^{2021}+441$ e poiché $2^{21}=2097152$ la somma delle cifre di $N$ è

$$2+9+7+1+5+2+1+4+2+4+4+1 = \color{red}{42} $$

**4)** Siano $a, b, c$ interi, ciascuno compreso fra $1$ e $2021$ (estremi inclusi), che soddisfano l’equazione

$$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+c\sqrt{b}}. $$
Quanti sono i possibili valori distinti di $c$?

L'equazione data è equivalente a

$$ b+2\sqrt{ab} = c\sqrt{b} $$
$$ \sqrt{b}+2\sqrt{a} = c $$

e le uniche soluzioni si hanno quando sia $a$ che $b$ sono quadrati, con $\sqrt{a}$ e $\sqrt{b}$ che possono assumere qualunque valore intero tra $1$ e $44$. In tal caso $\sqrt{a}+2\sqrt{b}$ rappresenta tutti gli interi tra $3$ e $3\cdot 44$, che sono $\color{red}{130}$.

**5)** Nello studiare il polinomio $p(x) = x^2+2x-6$, Enrica ha scoperto due numeri reali distinti $\alpha$ e $\beta$ tali che $p(\alpha) = \beta$ e $p(\beta) = \alpha$. Quanto vale $\alpha+\beta$?

Abbiamo $\alpha=\beta^2+2\beta-6$ e $\beta=\alpha^2+2\alpha-6$. Facendo la differenza termine a termine 
$$ \alpha-\beta = (\beta-\alpha)(\beta+\alpha)+2(\beta-\alpha) $$
dunque $\alpha+\beta = \color{red}{-3}$.

**6)** I partecipanti a un convegno di furfanti (che mentono sempre) e cavalieri (che dicono sempre la
verità) sono numerati da 1 a 2021. Ciascuno di essi dichiara: “si possono formare almeno $i$ terne
di partecipanti di cui io faccia parte e che contengano esattamente due cavalieri”, dove $i$ è il
numero assegnato alla persona che parla. Quanti sono i valori possibili per il numero di furfanti
presenti al convegno?

È certamente possibile che ci siano solo furfanti. 
Non è possibile che ci sia un solo cavaliere: questi, scompagnato, si troverebbe inevitabilmente a pronunciare il falso. È possibile che ci siano due cavalieri, ad esempio nella configurazione $CCFFFF\ldots$, ed è anche possibile che ce ne siano tre, ad esempio nella configurazione $CCCFFFF\ldots$. Se ci sono quattro o più cavalieri, sono tutti cavalieri. Infatti nessuna persona entro le prime $6$ può essere un furfante (che in tale posizione si troverebbe a dire il vero) e questo discorso porta al bootstrap $4\to 6\to 15\to 105\to\text{tutti}$. 
Qui però abbiamo una contraddizione, perché in ogni terna deve esserci almeno un furfante. Essendoci solo $\color{red}{3}$ possibilità per il numero di cavalieri, ce ne sono altrettante per il numero di furfanti.

**7)** Sia $ABC$ un triangolo rettangolo in $B$. Sia $H$ il piede dell’altezza uscente da $B$ e sia $D$ l’intersezione fra la bisettrice dell’angolo in $A$ e il lato $BC$. Supponiamo che $HD$ sia perpendicolare a $BC$. Quanto vale $\left(\frac{AB}{BC}\right)^2$?

Abbiamo una soluzione con $AB < BC$, dunque per esclusione la risposta corretta è necessariamente $\color{red}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$. Non volendo sfruttare l'inaccortezza dei propositori, posto $AB=x$ e $BC=1$, applicando il Teorema di Euclide e il Teorema della bisettrice si arriva all'equazione $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}$, che si riconduce in pochi passaggi a $1 = x \sqrt{x^2+1}$ e infine a $x^4+x^2-1 = 0$, con la stessa conclusione.

**8)** Il piccolo Boole ha disegnato una striscia di 8 caselle, in ognuna delle quali può essere scritto
uno 0 o un 1. Inizialmente ogni casella contiene uno 0. Ad ogni mossa, Boole compie una delle
seguenti operazioni:

- sostituisce ogni 0 con un 1 e ogni 1 con uno 0;
  - sceglie tre caselle consecutive e solo in queste sostituisce ogni 0 con un 1 e viceversa.

Quante diverse combinazioni di 0 e 1 può ottenere Boole?

Possiamo liberamente cambiare lo status delle caselle in posizione $3$ o $6$, ma non è possibile cambiare lo status di una casella singola tra quelle che occupano le posizioni $1,2,4,5,7,8$. Tuttavia abbiamo almeno cinque gruppi di caselle sulle quali possiamo liberamente operare un complemento: $(12)(3)(45)(6)(78)$. Le coppie di caselle $(12),(45),(78)$ possono trovarsi nelle configurazioni $PPP,AAP,PAA,APA$ dove $P$ indica bit concordi e $A$ indica bit discordi. Abbiamo dunque almeno $\color{red}{2^7}$ configurazioni, ma chiaramente meno di $2^8$.

**9)** Per ogni reale non negativo $x$, definiamo $\lfloor x\rfloor$ come la parte intera di $x$, ovvero il più grande
intero minore o uguale di $x$, e $\{x\} = x − \lfloor x \rfloor$ come la parte frazionaria di $x$.
Sia $p$ una soluzione reale positiva non intera dell’equazione $\{z\lfloor z \rfloor \} = 2021\{z\}$. Qual è il secondo più piccolo valore possibile di $\lfloor p \rfloor$?

Nell'equazione data il termine sinistro è strettamente compreso tra $0$ ed $1$, dunque lo è anche il destro e la parte frazionaria di $p$ è minore di $\frac{1}{2021}$. Posto $p=n+\varepsilon$ con $n=\lfloor p\rfloor$ e $\varepsilon=\{p\}<\frac{1}{2021}$ abbiamo

$$ \{ (n+\varepsilon)n\} = \{\varepsilon n\} = 2021 \varepsilon $$

e ogni $p$ della forma $2021+\delta$ con $\delta > 0$ sufficientemente piccolo è soluzione.<br> Confrontando grafici di funzioni lineari a tratti abbiamo che la soluzione successiva si ha per $\lfloor p\rfloor = \color{red}{4043}$ in corrispondenza di un valore di $\{p\}$ che è ridicolmente più piccolo di $\frac{1}{2021}$.

**10)** Determinare il numero di terne ordinate $(a,b,c)$ di interi non negativi tali che ciascuno dei numeri $2^a,2^b,2^c$ sia minore di $10000$ e che il numero $2^a + 2^b + 2^c$ sia un divisore di $8^a+8^b+8^c$.

In virtù del fatto che $x^3+y^3+z^3-3xyz$ è un multiplo di $x+y+z$, $2^a + 2^b + 2^c$ è un divisore di $8^a+8^b+8^c$ se e solo se è un divisore di $2^{a+b+c}$ o di $3\cdot 2^{a+b+c}$. È dunque sufficiente contare i casi in cui $2^a+2^b+2^c$ è una potenza di due o il triplo di una potenza di due. Per le proprietà della rappresentazione binaria e il funzionamento dei riporti, questo avviene solo se $a,b,c$, una volta ordinati, costituiscono una terna del tipo $n,n,n+1$ oppure $n,n,n$ oppure $n,n,n+2$. Sia $a$ che $b$ che $c$ possono prendere valori tra $0$ e $13$, dunque abbiamo $\color{red}{86}$ soluzioni.

**11)** Sia $ABC$ un triangolo equilatero di lato unitario e sia $P$ un punto dalla parte opposta della
retta $AB$ rispetto al punto $C$, tale che l’angolo $\angle APB$ misuri $60^\circ$. Supponiamo che la bisettrice dell’angolo $\angle APB$ intersechi i segmenti $AB$ e $AC$ nei punti $X$ e $Y$, rispettivamente. Qual è il
minimo valore possibile per l’area del triangolo $AXY$ ?

Detto $C'$ il simmetrico di $C$ rispetto ad $AB$, il punto $P$ appartiene alla circonferenza circoscritta ad $ABC'$ e la bisettrice di $\angle APB$ passa sempre per il punto medio dell'arco $BC$, ossia per il centro di $ABC$. Segue che al minimo l'area di $AXY$ è quattro noni dell'area di $ABC$, ossia $\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{9}}$.

**12)** Sia N il numero di sestuple ordinate di interi $(a,b,c,d,e,f)$ tali che $a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=168$ 
e $-202120212021^9 < abcdef < 202120212021^9$
, dove $abcdef$ è il prodotto dei sei interi. Quale
è il resto di N nella divisione per 6?

Sullo spazio delle soluzioni può essere messa una relazione di equivalenza che identifica due soluzioni se queste coincidono per uno shift ciclico delle coordinate. Non è possibile che una soluzione sia del tipo $(a,a,a,a,a,a)$ (classe di equivalenza con $1$ elemento), ma è possibile che sia del tipo $(a,b,a,b,a,b)$ (classe di equivalenza con $2$ elementi, corrispondente alle soluzioni di $a^3+b^3=56$) oppure $(a,b,c,a,b,c)$ (classe di equivalenza con $3$ elementi, corrispondente alle soluzioni di $a^3+b^3+c^3=84$). Tenendo conto delle varie eventualità si ha che la risposta corretta è $\color{red}{2}$.

Wed, 31 Mar 2021 09:58 GMT