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**Lezione di riepilogo sulle rette**

Definizione di segmento: dati due punti distinti $A,B$ del piano cartesiano, il segmento di estremi $A,B$ è l'insieme delle combinazioni convesse di $A$ e di $B$, ossia l'insieme dei punti della forma

$$ (1-\lambda) A + \lambda B $$

per $\lambda\in[0,1]$. Il punto che si ottiene per $\lambda=\frac{1}{2}$ è detto *punto medio* del segmento ed ha la stessa distanza da ciascuno degli estremi. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi estremi.

La distanza tra punti del piano è definita attraverso il Teorema di Pitagora. In particolare la distanza tra $A(x_A,y_A)$ e $B(x_B,y_B)$ è data da

$$ d(A,B)=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}. $$

La distanza (euclidea) soddisfa la disuguaglianza triangolare:

$$ d(A,B)+d(B,C) \geq d(A,C). $$

La distanza tra due sottoinsiemi $E,F$ del piano è data da

$$ d(E,F) = \inf_{e\in E, f\in F} d(e,f) $$

e corrisponde alla lunghezza del più corto segmento congiungente.

Definizione di retta: insieme dei punti del piano con fissata ascissa (retta verticale) o grafico di un polinomio di primo grado. Equivalentemente: insieme dei punti della forma $(1-\lambda)A+\lambda B$ con $\lambda\in\mathbb{R}$ e $A\neq B$.

Per due punti distinti del piano passa un'unica retta.

Data una retta (non verticale) di equazione $y=mx+q$, il coefficiente $m$ è detto *pendenza* o *coefficiente angolare*, il coefficiente $q$ è detto *termine noto*, *intercetta* oppure *ordinata all'origine*.

Le rette per l'origine sono l'asse delle ordinate e quelle di equazione $y=mx$ per $m\in\mathbb{R}$.

Due rette si dicono *parallele* se non hanno punti in comune o se hanno tutti i punti in comune (coincidenti). Il parallelismo è una relazione di equivalenza e due rette risultano parallele solo se sono entrambe verticali o se hanno il medesimo coefficiente angolare.

Due rette con un unico punto comune si dicono *incidenti* e due rette con distinti coefficienti angolari sono sempre incidenti: questo è una conseguenza del fatto che i polinomi di primo grado sono sempre invertibili, in virtù dei due criteri di equivalenza delle equazioni.

Il coefficiente angolare $m$ corrisponde alla tangente dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse. Se una retta non verticale passa da punti distinti $P,Q$, vale

$$ m = \frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}. $$

Due rette che determinano angoli di $90^\circ$ si dicono *perpendicolari*, *ortogonali* o *normali*. Due rette sono perpendicolari solo se sono l'una orizzontale ($m=0$) e l'altra verticale, oppure se il prodotto dei coefficienti angolari vale $-1$.

Il problema di localizzare l'intersezione di rette incidenti è equivalente al problema di risolvere un sistema lineare in due equazioni e due incognite. Quest'ultimo può essere affrontato per sostituzione, eliminazione o metodo di Cramer.

L'insieme delle rette passanti dal punto $P(x_P,y_P)$ è dato dalla retta verticale di equazione $x=x_P$ e dalle rette di equazione

$$ y=m(x-x_P)+y_P $$

al variare di $m$ in $\mathbb{R}$.

La distanza di un punto $P(x_P,y_P)$ da una retta $r$ di equazione $ax+by+c=0$ è data da

$$ d(P,r) = \frac{|a x_P+b y_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

ed è la lunghezza del segmento che congiunge $P$ con la sua proiezione ortogonale su $r$.

Fri, 05 Mar 2021 10:40 GMT