MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Nel moto parabolico sappiamo che la velocità di lancio $\vec{v}_0$ e l'accelerazione di gravità fissano elevazione $h$ e gittata $l$ nel seguente modo:

$$ h=\frac{v_0^2}{2g}\sin^2(\alpha),\qquad l=\frac{2v_0^2}{g}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$$
Da queste relazioni è immediato osservare che raddoppiando la velocità iniziale $h$ e $l$ quadruplicano. Osserviamo come l'angolo iniziale può essere ricavato da elevazione e gittata:
$$4\frac{h}{l}= \frac{2h}{l/2}=\frac{\sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tan\alpha $$
In particolare se la gittata è esattamente quattro volte l'elevazione si ha $\tan\alpha=1$ da cui $\alpha=45^\circ$. In questa situazione si ha
$$ h=\frac{v_0^2}{4g},\qquad l=\frac{v_0^2}{g},\qquad v_0=\sqrt{gl}.$$
Nel caso dell'esercizio 1 della verifica
$$ v_0=\sqrt{10\,m/s^2\cdot 40\,m}=\sqrt{400\,m^2/s^2}=20\,m/s=72\,Km/h $$

-------------------------------------------------

Ricordiamo che un moto armonico non è un moto uniforme, cioè a velocità costante. Se fosse uniforme, non potrebbe aver luogo lungo segmenti ma soltando lungo semirette o rette. Le estremità della traiettoria sono i punti in cui il corpo "torna indietro", dunque i punti in cui la velocità si annulla. La velocità massima è raggiunta al centro della traiettoria.

Nel caso dell'esercizio 3, la velocità media lungo la traiettoria era $B\,m/s$. Proprio perché la velocità massima è più grande di quella media, le opzioni di risposta $B\,m/s$ e $B/2\,m/s$ potevano essere immediatamente scartate.

Proprio per quella che è la definizione di moto armonico data dal libro di testo (proiezione di un moto circolare uniforme) è sensato aspettarsi che nei problemi di determinazione di una velocità in un moto armonico compaia quella costante che rappresenta metà della lunghezza di una circonferenza di raggio $1$, cioè $\pi$.

-----------------------------------------------------

Da quanto visto a lezione sappiamo che in un moto armonico la velocità massima è π volte la lunghezza della traiettoria divisa per il periodo.

Nel caso dell'esercizio 3 avevamo che la lunghezza della traiettoria era $B$ metri e il periodo $2$ secondi, dunque la velocità massima era $\frac{\pi B}{2}\,m/s\approx 1.57\,B\,m/s$.

Tue, 22 Dec 2020 07:52 GMT