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Fixe $n\in\mathbb N$. Alors \begin{align*} \bigcup_{i\in\mathbb Z}\bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\geq n}\{S_m=i\}&=\bigcup_{i\in\mathbb Z}\bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\geq n}\{S_m-S_n=i-S_n\}\\ &=\bigcup_{i\in\mathbb Z}\bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\geq n}\{S_m-S_n=i\}\in \sigma (X_{n+1},X_{n+1},...) \end{align*} où la dernière égalité vient du fait que $S_m-S_n$ et $S_n$ sont indépendent. Comme $n$ est quelconque, on a le resultat pour tout $n$, et donc $\bigcup_{i\in\mathbb Z}\bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\geq n}\{S_m=i\}$ est une élément queue.
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Wed, 09 Dec 2020 10:17 GMT