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Esercizi pagina 79, revisione

**133)** Figura https://imgur.com/snLkplF

Chiamiamo $O$ il punto medio di $AB$ ed $M$ il punto di $PQ$. La tesi è equivalente a $MQ+DE<3$, e poiché $MQC$ è sia rettangolo che isoscele, la tesi è anche equivalente a $ME+MC<3$, cioè a $x+ME<3$. Dalle informazioni del testo segue $OE=OC=4$, dunque $OM=4-x$. Per il Teorema di Pitagora
$$ME=\sqrt{4^2-(4-x)^2}=\sqrt{x(8-x)}$$
dunque la disuguaglianza da risolvere è
$$ \sqrt{x(8-x)} < 3-x $$
dove per vincoli geometrici il valore di $x$ può variare da $0$ a $4$. Per vincoli di segno la disuguaglianza può essere verificata soltanto se $x\in[0,3]$. In tal caso la disuguaglianza è equivalente a
$$ x(8-x) < 9-6x+x^2 $$
$$ 8x-x^2 < 9-6x+x^2 $$
$$ 2x^2-14x+9 > 0 $$
Le radici del polinomio sono $\frac{14\pm\sqrt{124}}{4}=\frac{7\pm\sqrt{31}}{2}$. Considerando in che ordine si presentano $0,3,\frac{7\pm\sqrt{31}}{2}$ sulla retta reale, segue che la soluzione è data da $x\in[0,(7-\sqrt{31})/2)$. Il fatto che la soluzione sia costituita da un solo intervallo (i numeri $\geq 0$ sufficientemente piccoli) è evidente già in partenza dal fatto che sia la lunghezza di $DE$ che quella di $PQ$ crescono al crescere di $x$ tra $0$ e $4$.

**134)** Figura https://imgur.com/f5djCDi

Chiamiamo $O$ il centro della circonferenza, $M$ il punto medio di $AB$ e $S$ il simmetrico di $Q$ rispetto al punto medio di $BP$, in modo che $BQPS$ sia automaticamente un rettangolo. Per angle chasing i triangoli $OBM$ e $BPQ$ sono simili tra loro e simili al "solito" triangolo rettangolo con cateti di lunghezze $3$ e $4$ e ipotenusa di lunghezza $5$. Questa similitudine e il Teorema di Pitagora applicato ad $OSP$ ci permettono di riformulare il problema come
$$BP^2+BQ^2 = x^2+\left(\frac{3}{5}x\right)^2 \leq \left(\frac{3}{5}x\right)^2+ \left(10+\frac{4}{5}x\right)^2 =OP^2$$

$$ \left(10+\frac{9}{5}x\right)\left(10-\frac{1}{5}x\right)\geq 0$$
sotto il vincolo geometrico $x\geq 0$. È a questo punto evidente che la soluzione sia data da $0\leq x\leq 50$.

Fri, 27 Nov 2020 09:13 GMT