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**Preliminares:** Sea $V$ un $K$-espacio vectorial de dimensión finita, sea $T : V \to V$ una transformación $K$-lineal y sea $p(\lambda) = \det(\lambda I - T)$ el polinomio característico de $T$.

**Definición:** Decimos que $T$ es

* *Diagonalizable*, si existe una base $V$ conformada por autovectores.
* *Semisimple*, si $T \otimes_K E$ es diagonalizable sobre alguna extensión algebraica $E/K$.
* *Nilpotente*, si $T^n = 0$ para algún $n \in \mathbb N$.
* *Unipotente*, si $T - I$ es nilpotente.

**Definción:** Sea $\alpha \in K$ un autovalor de $T$. El *espacio primario* de $\alpha$ es
$$V^\alpha = \bigcup_{n \in \mathbb N} \ker (T - \alpha I)^n$$

**Proposición:** Si $T$ tiene todos sus autovalores en $K$, entonces
$$V = V^{\alpha_1} \oplus \dots \oplus V^{\alpha_n}$$
donde $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in K$ son los autovalores de $T$, contados sin repetición.

*Prueba:* Sea $p(\lambda) = q(\lambda) \, r(\lambda)$, donde $q(\lambda)$ y $r(\lambda)$ no tienen factores comunes. Por el algoritmo de Euclides, existen polinomios $a(\lambda)$, $b(\lambda)$ tales que
$$a(\lambda) \, q(\lambda) + b(\lambda) \, r(\lambda) = 1$$

Dado un vector arbitrario $v \in V$, tenemos
$$a(T) \, q(T) \, v + b(T) \, r(T) \, v = v$$

Esto implica que $\ker p(T) \cap \ker q(T) = 0$. Por otro lado, tenemos
$$q(T) \, r(T) = r(T) \, q(T) = 0$$

Esto implica que todo elemento de $V$ es la suma de un elemento de $\ker p(T)$ y un elemento de $\ker q(T)$. Aplicando este resultado progresivamente a factorizaciones cada vez más finas de $p(\lambda)$, tenemos el resultado buscado.

**Corolario:** $T$ tiene todos sus autovalores en $K$ si y sólo si existe una base de $V$ en la cual $T$ se representa como una matriz triangular superior.

**Definición:** Decimos que $T$ es *trigonalizable* si satisface la condición del corolario anterior.

**Definición:** Una *descomposición de Jordan-Chevalley* de $T$ expresa a $T = S + N$ como la suma de un endomorfismo semisimple $T : V \to V$ y un endomorfismo nilpotente $N : V \to V$ que conmutan.

**Proposición:** Si $T$ tiene todos sus autovalores en $K$, entonces existen polinomios $s(\lambda), n(\lambda) \in K[\lambda]$ tales que $S = s(T)$ y $N = n(T)$ son la única descomposición de Jordan-Chevalley de $T$.

*Prueba:* Para cada autovalor $\alpha$ de $T$, sea $d = \dim V^\alpha$. Escribamos el polinomio característico de $T$ como
$$p(\lambda) = (\lambda - \alpha_1)^{d_1} \cdots (\lambda - \alpha_n)^{d_n}$$

Observemos que los factores $(\lambda - \alpha)^d$ son relativamente primos. Entonces, por el teorema chino del resto, existe un polinomio $s(\lambda) \in K[\lambda]$ tal que, para cada $\alpha$, se cumple
$$s(\lambda) = \alpha \mod {(\lambda - \alpha)^d}$$

Esta condición implica que $S = s(T)$ actúa como la multiplicación por $\alpha$ sobre cada $V^\alpha$. Por construcción, $N = T - S$ es nilpotente y conmuta en $S$. Podemos definir $n(\lambda) = t - s(\lambda)$.

Supongamos que $T = S' + N'$ es otra descomposición de Jordan-Chevalley de $T$. Puesto que $S, N$ son polinomios en $T$, las partes de la descomposición original $S, N$ conmutan con las partes de la nueva descomposición $S', N'$. Entonces $S - S' = N' - N$ es un endomorfismo simultáneamente semisimple y nilpotente, por ende es cero, i.e., $S = S'$ y $N = N'$.

**Teorema:** Si el cuerpo de ruptura de $p(\lambda)$ es una extensión de Galois $E/K$, entonces existen polinomios $s(\lambda), n(\lambda) \in K[\lambda]$ tales que $S = s(T)$ y $N = n(T)$ son la única descomposición de Jordan-Chevalley de $T$.

*Prueba:* Denotemos por un apóstrofe la extensión de escalares $- \otimes_K E$. Por la proposición anterior, $T' : V' \to V'$ admite una única descomposición de Jordan-Chevalley sobre $E$, inducida por polinomios $s(\lambda), n(\lambda) \in E[\lambda]$. Nuestro trabajo se reduce a demostrar que los coeficientes de $s(\lambda), n(\lambda)$ están en el cuerpo base $K$.

Definamos una acción de $G = \operatorname{Gal}(E/K)$ sobre las matrices con entradas en $E$ de la siguiente manera:
$$\sigma \in G, \qquad \qquad \tilde T = (a_{ij}), \qquad \qquad \sigma(T) = (\sigma(a_{ij}))$$

Esta acción preserva las propiedades de semisimplicidad y nilpotencia. Si $\tilde T = \tilde S + \tilde N$ es una descomposición de Jordan-Chevalley, entonces $\sigma(\tilde T) = \sigma(\tilde S) + \sigma(\tilde N)$ también es una descomposición de Jordan-Chevalley. En particular, si representamos a $T'$ como una matriz con entradas en $K$, tenemos $T' = \sigma(T')$. Puesto que la descomposición de Jordan-Chevalley de $T'$ es única, tenemos $S' = \sigma(S')$, $N' = \sigma(N')$. Esto implica que $s(\lambda), n(\lambda)$ son $G$-invariantes, lo cual sólo es posible si los coeficientes $s(\lambda), n(\lambda)$ están en $K$.

Mon, 06 Jul 2020 04:29 GMT