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Soit $X_i$le nombre de millimètre de plus sur une journée. On suppose les $(X_i)$ indépendentes. Soit $Y_i=\boldsymbol 1_{\{X_i\geq x_T\}}$. On note $p=\mathbb P\{Y_i=0\}$. Alors $$p_k=p^{k-1}(1-p),$$ On pose $\tau_1=\inf\{k\geq 1\mid Y_k=1\}$ et $$\tau_{i}=\inf\{k>\tau_{i-1}\mid Y_k=1\}.$$ Maintenant, $T_i=\tau_{i}-\tau_{i-1}$. Let $T_i$ sont indépendant et identiquement distribué. On définit alors $T(x_T):= \mathbb E[T_i]$. - On a que $$\mathbb P\{T_i=k\}=p_k,$$ par conséquent, $$T(x_T)=\mathbb E[T_i]=\sum_{k=1}^\infty k\mathbb P\{T_i=k\}=\sum_{k=1}^\infty kp_k.$$
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Thu, 19 Sep 2019 21:08 GMT