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Soit $E$ un ensemble et $G$ un groupe. Une action de groupe sur $E$ par $G$ (on dit que $G$ agit sur $E$) est une application $$A:G\times E\longrightarrow E.$$

c'est une sorte de "loi externe" qui possède certaines propriétés. Ce qu'on cherche à faire c'est mettre en relation les élément de $G$ avec les élément de $E$. On cherche en fait à définir une loi externe sur $E$. Par exemple si $V$ est un $\mathbb R$ espace vectoriel, et bien la loi externe est une action de groupe (un peu plus sophistiquée). On suppose que $v=(v_1,...,v_n)$. On définie l'action de groupe par $$\lambda \cdot v=(\lambda v_1,...,\lambda v_n)$$

Donc en soit, une action de groupe sur un ensemble $E$ et ce qu'on pourrait appelé une loi externe sur $E$ par $G$. Dis toi que si $G$ agit sur $E$, alors $E$ devient très grossièrement un $G-$espace vectoriel. (Sache que c'est pas vrai ce que je dis car $E$ n'est pas un groupe. Si $E$ est un groupe, alors $E$ n'est pas un $G$ espace vectoriel car il manque des propriétés, mais c'est juste pour te donner une image de ce qu'on fait. En fait, si $G$ est un anneau et $E$ un groupe, alors $E$ est un $G-$module. Et si les éléments non nuls de $G$ sont inversibles pour la multiplication, alors là, $G$ est un corps et $E$ devient un $G-$espace vectoriel).

Cette action, outre son nom un peu barbare, mais très évocateur de ce que l'on cherche à faire, n'est rien d'autre qu'une fonction de $$A:G\times E\to E,$$
avec bien sûr quelques propriétés supplémentaires, mais ça reste une fonction ! et quand pour $g\in G$ et $e\in E$, on écrit $g\cdot e$, et bien ça n'est rien d'autre que $$g\cdot e:= A(g,e).$$

Par example, si $G$ est l'ensemble des fonctions de $\mathbb R\to \mathbb R$ et $E$ est $\mathbb R$, alors l'action de groupe qui en découle est l'évaluation :
$$f\cdot x = f(x)$$
pour tout $x\in \mathbb R$ et $f\in \mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$.

Si $G=\mathscr S_3$ et $E=\{1,2,3\}$, et bien l'action $$\sigma \cdot e=\sigma (e)$$
pour tout $\sigma \in \mathscr S_3$ et tout $e\in E$. Ici, un élément de $\mathfrak S_3$ c'est un élément de $\{id, (12), (13), (23), (123), (132)\}$. L'écriture $(123)$ est l'application définie par $$(123)\cdot 1=2, \quad (123)\cdot 2=3\quad \text{et}\quad (123)\cdot 3=1.$$

Donc toit on te demande de savoir ce que sera $\sigma \cdot 2$ lorsque $\sigma $ parcourt $\mathfrak S_3$ (qui n'est rien d'autre que l'ensemble image de l'application $\sigma \mapsto \sigma \cdot 2$). Par example, $(12)\cdot 2=1$, $(23)\cdot 2=3$ et $id\cdot 2=2$. Par conséquent, lorsque $\sigma $ parcours $\mathfrak S_3$, et bien $\sigma \cdot 2$ parcourt $E$. Donc $$\{\sigma \cdot 2\mid \sigma \in \mathfrak S_3\}=E.$$

Sat, 10 Nov 2018 13:07 GMT