MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Antag $\begin{cases}x'(t) = A(t) x(t) \\ x(\tau) =\boldsymbol\xi\end{cases}$

Antag att lösningen kan skrivas på formen $x(t) = \Phi(t,\tau)\boldsymbol\xi.$

---

Notera $\Phi(t, \tau) = \displaystyle \exp\left(\displaystyle\int_\tau^t A(\sigma) \; \mathrm d\sigma\right)$ och därmed

$\Phi(np, 0) = \displaystyle \exp\left(\displaystyle\int_0^{np} A(\sigma) \; \mathrm d\sigma\right) = \displaystyle \exp\left(n \displaystyle\int_0^{p} A(\sigma) \; \mathrm d\sigma\right) = \displaystyle \exp^n\left(\displaystyle\int_0^{p} A(\sigma) \; \mathrm d\sigma\right) = \Phi^n(p,0)$

FALSK HÄRLEDNING!!!

---

Vi kan alltså notera att lösningen uppfyller

$x(np) = \Phi^n(p,0) \boldsymbol\xi$

Antag nu att det finns en konstant matris $F$ sådant att $x(np) = \Phi^n(p,0) \boldsymbol\xi= \exp(npF) \boldsymbol\xi$.

Med potenslagarna erhålls

$x(np) = \Phi^n(p,0) \boldsymbol\xi= \exp(npF) \boldsymbol\xi = \exp^n(pF) \boldsymbol\xi$

Detta är en likhet som måste gälla för alla initialvillkor $\boldsymbol\xi$, så vi får $\Phi(p,0)=\exp(pF)$ i specialfallet $n=1$.

Vi definierar

$G := pF = \log(\Phi(p,0)).$

Betrakta systemet $\begin{cases}y'(t) = F y(t) \\ x(0) =\zeta \end{cases}$ med $\zeta = \Phi(0, \tau) \boldsymbol\xi$

Vi vet att $y(t) = \exp(Ft) \zeta$ löser systemet.

Definiera $\Theta(t) := \Phi(t, 0) \displaystyle\exp\left(\frac{-tG}{p}\right) = \Phi(t, 0) \displaystyle\exp\left(-tF \right)$

Notera att inversen $\Theta^{-1}(t) = \exp(tF) \Phi^{-1}(t,0) = \exp(tF) \Phi(0, t).$

Därmed får vi

$\Theta^{-1}(t) x(t)= \left[\exp(tF) \Phi(0, t)\right] \left[\Phi(t,\tau)\boldsymbol\xi\right] = \exp(tF) \Phi(t,0) \Phi(0, t) \Phi(0, \tau)\boldsymbol\xi  = \exp(tF) \zeta = y(t)$

Alltså:

$\Theta^{-1}(t) x(t) = y(t) \iff x(t) = \Theta(t) y(t)$

Eftersom $\Theta$ är periodisk och kontinuerlig gäller

$\begin{cases}\| \Theta(t)\| \leq M \\ \|\Theta^{-1}(t) \| \leq M\end{cases}$

för något $M > 0.$

Vi får då att, i betraktelsen av gränsövergången $t\to\infty$

1) $\|x(t) \|$ begränsad om och endast om $\| y(t)\| = \|\exp(Ft) \zeta\|$ begränsad

2) $\|x(t) \| \to 0$ om och endast om $\| y(t)\| = \|\exp(Ft) \zeta\| \to 0$

Vi har alltså motsvarande krav på egenvärdena.

Notera att då $G = pF = \log(\Phi(p,0)) \iff \exp(G) = \exp(pF) = \Phi(p,0)$

gäller att spektrumet till matriserna $G$ och $F$ uppfylla:

$\lambda \in \sigma(\Phi(p,0)) \iff \frac{\log \lambda}p \in \sigma(F)$

samt

$\lambda \in F \iff \exp(\lambda p) \in \sigma(\Phi(p,0))$

Låt ett egenvärde $\lambda \in F$ uppfylla $\operatorname{Re}(\lambda) < 0$.

Vi vet att det korresponderande egenvärdet i matrisen $\Phi(p,0)$ är $\exp(\lambda p) = \exp(p)$

Wed, 22 Aug 2018 17:53 GMT