MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Задача которую предложил один человек: Сколько работы потребуется чтобы поднять массу $m$ на высоту $h$ методом приложения силы в течении какого-то промежутка времени, а потом "долёта" массы до нужной высоты.

Вспоминаем стандартные формулы. Для равноускоренного движения верно:
\begin{align}
v(t) &= v_0 + at \\
x(t) &= x_0 + v_0t+\frac{at^2}{2} \label{qwe}
\end{align}
У нас есть два промежутка времени, первый - ускорение с приложенной силой, а второе - ускорение под действием силы тяжести.
\begin{align}
F_1 & = ma - mg & F_2 & = -mg \\
a_1 & = a - g & a_2 & = -g \\
v_1(t) & = v_{1_0} + a_1t & v_2(t) &= v_{2_0} + a_2t \\
\end{align}
Теперь обозначим первый период $t_1$, а второй период $t_2$ соответственно. Кроме того, в начале второго периода и в конце первого скорости должны совпадать.
\begin{align}
v_2(0) &= v_1(t_1) \\
v_2(0) = v_{2_0} + a_20 & = v_{1_0} + a_1t_1 = v_1(t_1) \label{rrr}
\end{align}
А также изначальная скорость равна нулю
\begin{align}
v_1(0) & = v_{1_0} + a_10 = 0 \\
v_{1_0} & = 0 \\
v_1(t) & = a_1t  = (a-g)t
\end{align}
Из равенства скоростей между периодами \eqref{rrr} следует
\begin{align}
v_{2_0} & = v_{1_0} + a_1t_1 \\
v_{2_0} & =  (a-g)t_1 \\
v_2(t) & = (a-g)t_1 + (-g)t
\end{align}
Итак, уравнения движений получаются.
\begin{align}
v_1(t) & = (a-g)t \\
v_2(t) & = (a-g)t_1 -gt
\end{align}
Поскольку в конце скорость должна быть равна нулю, получаем уравнение:
\begin{align}
v_2(t_2) = (a-g)t_1 - gt_2 = 0
\end{align}
От сюда легко вывести соотношение времён.
\begin{align}
(a-g)t_1 - gt_2 = 0 \\
(a-g)t_1 = gt_2 \\
t_1 = \frac{g}{a-g}t_2 \label{times} \\
\end{align}
Из формулы равноускоренного движения \eqref{qwe} получаем соответственные перемещения $S_1, S_2$
\begin{align}
S_1(t) & = 0 + 0t + \frac{(a-g)t^2}{2} \\
S_1(t) & = \frac{(a-g)t^2}{2} \\
S_2(t) & = S_{2_0} + (a-g)t_1t + \frac{-gt^2}{2} \\
S_{2_0} & = S_1(t_1) = \frac{(a-g)t_1^2}{2} \\
S_2(t) & = \frac{(a-g)t_1^2}{2} + (a-g)t_1t + \frac{-gt^2}{2} \\
\end{align}
Итоговое перемещение $S$ получается равно
\begin{align}
S = S_2(t_2) = \frac{(a-g)t_1^2}{2} + (a-g)t_1t_2 + \frac{-gt_2^2}{2}
\end{align}
Подставляем соотношения времён \eqref{times}, получаем:
\begin{align}
S & = \frac{(a-g)\left(\frac{g}{a-g}t_2\right)^2}{2} + (a-g)\frac{g}{a-g}t_2t_2 + \frac{-gt_2^2}{2} \\
S & = \frac{a-g}{2}\cdot\left(\frac{g}{a-g}t_2\right)^2 + gt_2^2 - \frac{gt_2^2}{2} \\
S & = \frac{(a-g)g^2t_2^2}{2(a-g)^2}+ gt_2^2 - \frac{gt_2^2}{2} \\
S & = \frac{g^2t_2^2}{2(a-g)}+ \frac{gt_2^2}{2} \\
S & = \frac{gt_2^2}{2}\left(\frac{g}{a-g} + 1\right) \\
S & = \frac{gt_2^2}{2}\cdot\frac{g+(a-g)}{a-g} \\
S & = \frac{agt_2^2}{2(a-g)}
\end{align}
Выразим $t_2$.
\begin{align}
\frac{2S(a-g)}{ag} = t_2^2\\
t_2 = \sqrt{\frac{2S(a-g)}{ag}}
\end{align}
Сначала узнаем $t_1$.
\begin{align}
t_1 = \frac{g}{a-g}t_2 \\
t_1 = \frac{g}{a-g}\cdot\sqrt{\frac{2S(a-g)}{ag}}
\end{align}
Теперь узнаем первое перемещение.
\begin{align}
S_1(t_1) & = \frac{(a-g)(t_1)^2}{2} \\
S_1(t_1) & = \frac{(a-g)}{2}\cdot\left(\frac{g}{a-g}\cdot\sqrt{\frac{2S(a-g)}{ag}}\right)^2 \\
S_1(t_1) & = \frac{(a-g)g^22S(a-g)}{2(a-g)^2ag} \\
S_1(t_1) & = \frac{Sg}{a}
\end{align}
Назовём нашу приложенную силу $F_3$. И наконец, вычисляем работу:
\begin{align}
A & = FS \\
A & = F_3S_1(t1) \\
F_3 & = ma \\
S_1(t_1) & = \frac{Sg}{a} \\
A & = ma\frac{Sg}{a} \\
A & = mSg \\
A & = mgS \\
\end{align}
В полном соответствии с
\begin{align}
A & = mgh
\end{align}

Wed, 20 Dec 2017 08:00 GMT