MathB.in
New
Demo
Tutorial
About
Условие --- Путешественник прошёл один километр на юг, затем один километр на запад, а после один километр на север и вернулся в исходную точку. Сколько существует таких мест на земле? Подсказка: больше одного… Договоренности --- * Под "идти на Юг/Север" предполагается, что идти нужно строго вдоль меридиана (то есть меняется только широта). * Аналогично под "идти на Запад/Восток" предполагается, что меняется только долгота, широта остается неизменной. * Двигаться можно только по поверхности сферы (Земли) * Широта и долгота -- углы в радианах * Широты в северном полушарии отрицательные (т.е. северный полюс имеет координаты $\{-\frac{\pi}{2}; \alpha\}$, где $\alpha$ - любое вещественное число) * На южном полюсе двигаться можно в направлении севера: южного направления просто нет, а любое положительное расстояние на запад/восток не существует. Дано --- $R$ - радиус сферы $a$ - некое расстояние, которое нужно пройти каждый раз Найти --- Такие точки $\{Lat_0, Long_0\}$ (для удобства здесь и далее все углы в радианах) на сфере, чтобы они совпадали с соответствующими точками $$\{ Lat_0 + \Delta\varphi - \Delta\varphi, Long_0 + \Delta\psi - 2\pi k \}$$ Здесь $$ \Delta\varphi = \frac{a}{R} \\ Lat_0 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \\ Long_0 \in [0, 2\pi] \\ \Delta\psi = \frac{a}{r} \\ r = R\cos(Lat_0 + \Delta\varphi) \\ k \in \mathbb{Z} \\ a < \pi R - \text{не может быть длиннее меридиана} $$ Решение --- Случай1: Легко заметить, что $$Lat_0 = -\frac{\pi}{2}, Long_0 \in \mathbb{R}$$ - решение. В этом случае нас $\Delta\psi$ вообще не интересует. Случай2: $$ Long_0 = Long_0 + \Delta\psi - 2\pi k \Rightarrow \\ \Delta\psi = 2\pi k \Rightarrow \\ \frac{a}{R\cos(Lat_0 + \Delta\varphi)} = 2\pi k \Rightarrow \\ \frac{a}{R\cos(Lat_0 + \frac{a}{R})} = 2\pi k \Rightarrow \\ \frac{a}{2\pi R k} = \cos(Lat_0 + \frac{a}{R}) \Rightarrow \\ Lat_0 = \arccos(\frac{a}{2\pi R k}) - \frac{a}{R} $$ Для "Земли" и "1км" это будет: $$Lat_0 \approx arccos(\frac{1}{40075k}) - \frac{1}{6371}$$ $arccos$ маленьких чисел стремится либо к $\pi/2$, либо к $-\pi/2$ (то есть широты у полюсов), но не сложно проверить, что у северного полюса решений не будет, так как $arccos(\frac{1}{40075k}) - \frac{1}{6371}$ будет меньше $-\pi/2$ для любых целых $k$. Поэтому решения будут только вблизи южного полюса. Ответ --- Все точки, широта которых пренадлежит множеству $\{-\frac{\pi}{2}\} \cup \{|\arccos(\frac{a}{2\pi R k})| - \frac{a}{R}\}$, где $k$ - любое целое кроме $0$.
ERROR: JavaScript must be enabled to render input!
Thu, 24 Jul 2014 09:57 GMT