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Setze $a=1$, vereinfacht die Rechnung

Idee: Stelle zwei Gleichungen fuer den rechten oberen Punkt auf, bei der sich der innere und ein aeusseren Kreis schneidet. Die erste Gleichung ist der Schnittpunkt zwischen inneren und aeusseren Kreis, die zweite verlangt das sich die Tangenten der beiden Kreisen anschmiegen.

Innerer Kreis:
\[ (x-\frac{1}{2})^2 +(y-r)^2=r^2\]

Ausserer Kreis:
\[x^2+y^2=1\]
\[ y=\sqrt{1^2-x^2} \]

kombiniert
\[I) (x-\frac{1}{2})^2+(\sqrt{1-x^2}-r)^2=r^2\]

Tangente der Kreise

innerer
\[ y_1=r+\sqrt{r^2-(x-\frac{1}{2})}\]
\[y_1'=-\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{r^2-(x-\frac{1}{2})^2}}\]
aeusserer
\[ y_2'=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\]
stelle auf
\[\frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{r^2-(x-\frac{1}{2})^2}} =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \]
\[ x^2(r^2-1)+x-\frac{1}{4}=0\]
\[ II) x_1=-\frac{1}{2(r-1)} ,III) x_2=\frac{1}{2(r+1)}\]

Schnittmenge zwischen I) und II)

wolframalpha.com/input/?i=%28x-1%2F2%29^2%2B%28sqrt%281-x^2%29-r%29^2%3Dr^2%2C+x%3D-1%2F%282%28r-1%29%29

edit: wow noscript erkennt ein xss angriff beim oeffnen dieser URL.

also
\[r=\frac{3}{8}\]

Die allgemeine Loesung folgt durch 'Streckung'
\[ \sqrt{(ax)^2+(ay)^2} =a\sqrt{x^2+y^2}=ar=\frac{3a}{8}\]

Thu, 03 Jul 2014 23:40 GMT