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Si parte con il Problema

\begin{equation}\label{probl}
\begin{split}
& x \chi'' (1 + \chi^2) + \chi'(1 + \chi^2 - x\chi) = 0 \\
& \lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to 1}\chi(x) = 0
\end{split}
\end{equation}

Ho dato uno sguardo ai tuoi commenti, e non conoscendo per intero l'origine del problema
mi sono posto, almeno, di determinare come si trasformano le equazioni in due casi limite:
quello per $x\to 0^+$ e per $x\to 1$, sfruttando pertanto i dati stessi del problema ai limiti posto.

Intanto ho riscritto la \eqref{probl} così (essendo $x\neq 0$ ed $(1 + \chi^2) > 0$):

\begin{equation}\label{probl-normal}
\begin{split}
& \chi'' = -\frac{1}{x}\chi' + \frac{\chi}{1 + \chi^2}\chi' \\
& \lim_{x\to 0^+} \chi(x) = -\infty,\quad \lim_{x\to 1}\chi(x) = 0
\end{split}
\end{equation}

Ora, per $x\to 0^+$ si deve avere $\chi\to-\infty$, da cui si trae che

\[
 \frac{\chi}{1 + \chi^2} \sim_{x\to 0^+} \frac{1}{\chi}
\]

così la \eqref{probl-normal} si riduce alla ricerca delle soluzioni della equazione

\begin{equation}\label{probl-normal-near-0}
\chi'' = -\frac{1}{x}\chi' + \frac{\chi'}{\chi},\quad x\to 0^+
\end{equation}

Diventa significativo, ora, scegliere alcune ipotesi sull'andamento asintotico del rapporto
$\frac{\chi'}{\chi}$ in un intorno destro dello zero, almeno così facendo si possono studiare
alcuni andamenti sotto ipotesi "ragionevoli": la condizione più semplice che si può postulare
è la seguente (che comprende in forma compatta sia il caso in cui tale rapporto tenda a zero,
sia che tenda ad una costante, sia che tenda all'infinito -basta fissare le due costanti arbitrarie
che ho introdotto-):

\begin{equation}\label{ipotesi-a-0}
\frac{\chi'}{\chi}\sim_{x\to 0} a x^b
\end{equation}

con $a,b\in R$. In questo modo la \eqref{probl-normal-near-0} si riduce all'equazione differenziale lineare a coefficienti non-costanti

\begin{equation}\label{probl-normal-near-0-post}
\chi'' = -\frac{1}{x}\chi' + a x^b,\quad x\to 0^+
\end{equation}

Tenendo conto, infine, dell'altra condizione sul limite si ottiene che la 
\eqref{probl-normal} si riduce alla ricerca delle soluzioni della equazione

\begin{equation}\label{probl-normal-near-1}
\chi'' = -\frac{1}{x}\chi',\quad x\to 1
\end{equation}

di fatto già compresa nel caso postulato per $x\to 0^+$, quando si scelga $b > 0$ ed $a$ arbitrario.

Considerazioni dirette sull'equazione \eqref{probl-normal-near-0} non ne ho fatte senza le suddette ipotesi, ma considerandola tal quale essa è una forma speciale dell'Equazione di Emder-Fowler Generalizzata, di cui puoi trovare informazioni nel manuale di Polyanin-Zaitsev "Handbook of Exact Solutions of Ordinary Differential Equations" (Second Edition - Chapman & Hall - CRC).

Fri, 25 Apr 2014 20:45 GMT