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Studiare le soluzioni della disequazione \begin{equation}\label{diseq}\tag{D} x - 2^x \le d - 1 \end{equation} essendo $d$ un parametro reale. Svolgimento. Si tratta evidentemente di una disequazione non riconducibile ad equazioni algebriche, e nemmeno risolubile facendo riferimento a proprietà di esponenziali o logaritmi. Applicherò tecniche di Analisi Matematica (Analisi Reale). Definisco la funzione \begin{equation}\label{equaz}\tag{E} y(x) := 2^x - x + ( d - 1 ) \end{equation} Chiaramente, la \eqref{diseq} equivale a imporre $y(x) \ge 0$ nella \eqref{equaz}. Il dominio di $y$ è $R$. Per i limiti agli estremi del dominio: \begin{equation}\label{lims}\tag{Ls} \begin{split} &\lim_{x\to+\infty} y(x) = \lim_{x\to+\infty} 2^x\left(1 - \frac{x}{2^x} + \frac{d-1}{2^x}\right) = +\infty \\ & \\ &\lim_{x\to-\infty} y(x) = \lim_{x\to-\infty} 2^x - x + ( d - 1 ) = +\infty \end{split} \end{equation} Quindi "lontano" dall'origine la \eqref{diseq} è soddisfatta per ogni valore del parametro $d$. Vediamo al "finito" cosa accade. Calcoliamo la derivata prima: \[ y'(x) = (\ln 2) 2^x - 1 \] da cui si ha che, indipendentemente dal parametro $d$, la monotonia di $y$ viene discriminata come \[ y'(x) \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\log_2 (\ln 2) =: x_0 \] Quindi: $y$ è monotona strettamente crescente solo per $x > x_0$, mentre è monotona strettamente decrescente per $x < x_0$: in particolare, $x = x_0$ è punto di minimo assoluto per $y$. Stimiamo la posizione di $x_0$. Dal fatto che $2 < e < 3$ si deduce che $\sqrt{e} < 2 < e$. Allora siccome la funzione $-\log_2$ è monotona strettamente decrescente si ottiene, da quanto sopra, che $x_0\in(0,1)$. Stimiamo il valore di $y(x_0)$: \[ y(x_0) = \frac{1}{\ln 2} + \log_2(\ln 2) + ( d - 1 ) \] da cui si evince che $y(x_0) \ge 0$ se e solo se (e qui otteniamo una condizione sul parametro $d$): \[ d \ge 1 - \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\ln 2) =: d_0 \] Quello che ho fatto qui sopra serve per vedere quando la \eqref{diseq} sarà soddisfatta in $x$ su tutto $R$, e quindi questa condizione ha richiesto l'imposizione della diseguaglianza qui sopra per $d$, in cui appare il valore critico $d_0$: quando $d$ è maggiore o uguale a questo valore critico, ogni $x\in R$ soddisfa la disequazione (che quindi diventa una diseguaglianza); quando invece $d < d_0$ non è più vero che la \eqref{diseq} è una diseguaglianza, perché appunto ci saranno degli $\tilde{x}$ che non la soddisfano. Per avere una conoscenza approssimativa del valore di $d_0$ conviene stimarlo, e per fare questo voglio provare ad utilizzare i valori usati per stimare la posizione di $x_0$, cioè gli estremi dell'intervallo $(\sqrt{e},e)$, nel quale come già sappiamo sta il numero $2\in(\sqrt{e},e)$. Orbene, mi definisco questa funzione \[ d(x) := 1 - \frac{1}{\ln x} - \log_2(\ln x) \] e voglio vedere come si comporta la funzione $d$ nel suddetto intervallo, agli estremi del quale (verifica lasciata al lettore) si ha \[ d(\sqrt{e}) = d(e) = 0 \] Quindi mi calcolo la derivata prima della funzione $d$: \[ d'(x) = \frac{1}{x\ln x}\left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{\ln 2}\right) \] per la quale è $d'(x) \ge 0 $ se e solo se $x \le 2$. Quindi la funzione $d$ è monotona strettamente crescente solo per $x < 2$, mentre è monotona strettamente decrescente per $x > 2$: in particolare, $x = 2$ è un massimo relativo entro l'intervallo $(\sqrt{e},e)$. Per quanto appena osservato, e quanto indicato qui sopra, è pure dimostrato che $d_0 > 0$. D'altra parte possiamo far notare che \[ 1 - \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\ln 2) < 1 - \log_2(\ln 2) \] se e solo se $-1 < 0$ (verifiche lasciate al lettore). Quindi resta pure stabilito che \[ d_0\in(0,1-\log_2(\ln 2)) \] Per avere un'idea di dove si collochi $1-\log_2(\ln 2)$ possiamo osservare che: \[ 0 < \ln 2 < 1 \Rightarrow \log_2(\ln 2) < 0 \] e che \[ 1 - \log_2(\ln 2) < 2 \Leftrightarrow 2 > \sqrt{e} \] e quindi resta provato che $1 < 1 - \log_2(\ln 2) < 2$. Concludendo: se $d\ge d_0$ il minimo assoluto di $y$ è non-negativo, da cui la \eqref{diseq} è soddisfatta da ogni $x\in R$ (cioè diventa una identità). Se, invece, $d < d_0$ il minimo assoluto di $y$ è negativo, da cui per la stretta monotonia di $y$ e per i limiti agli estremi del dominio segue che esistono due numeri reali $\alpha,\beta$, tali che la \eqref{diseq} è verificata solo se \[ x \le \alpha (< x_0) \text{ oppure } x\ge\beta (> x_0) \] E' chiaro che in realtà quello che succede è che sia $\alpha$ sia $\beta$ dipendono dal parametro $d$, per cui cercare di dare una loro stima risulta difficile e, forse, pure poco significativo in quanto al variare del parametro $d$ gli intervalli di stima potrebbero diventare anche troppo grandi per essere significativi.
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Wed, 05 Feb 2014 20:27 GMT