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Studiare le soluzioni della seguente equazione: \begin{equation}\label{esp1}\tag{E} 3^x = 9x \end{equation} Svolgimento. Per studiare le soluzioni dell'equazione, dato che non è riconducibile a tecniche algebriche (ad esempio per sostituzione con variabili che portino ad un'equazione polinomiale), né tantomeno risolubile direttamente sfruttando proprietà di esponenziali e logaritmi, utilizzerò alcune tecniche dell'Analisi Matematica (Analisi Reale). Definiamo la funzione \begin{equation}\label{fun1}\tag{F} y(x) := 3^x - 9x \end{equation} Cominciamo innanzitutto facendo osservare che il dominio di $y$ è tutto $R$. Lo studio della positività è un po' difficile, evidentemente non potendo facilmente dire qualcosa sul confronto, al finito, tra una esponenziale ed una retta. Allora per ora saltiamo questo punto, e passiamo alla derivata prima ed agli eventuali estremanti: cercheremo, una volta stabilita la monotonia della funzione, il suo comportamento agli estremi del dominio (tramite i limiti) e, poi, giudicheremo se ci possono essere sottoinsiemi del dominio in cui $y$ è positiva, nulla o negativa. Orbene: \begin{equation}\label{der1} y'(x) = (\ln 3) 3^x - 9 \end{equation} Per cui si evince che $y(x) \ge 0$ se e solo se (sfruttando il fatto che $\log_3$ è monotona strettamente crescente, e sapendo che $2 < e < 3$ implica $\ln 3 > 0$) \[ x \ge \log_3\left(\frac{9}{\ln 3}\right) = 2 - \log_3(\ln 3) =: x_0 \] Stimiamo ora la posizione di $x_0$. Come si controlla facilmente: \[ x_0 > 1 \Leftrightarrow e^9 > 3^3 \] ma siccome è $2 < e < 3$, essendo le funzioni-potenza (ad esponente positivo!) strettamente crescenti, si ha che \[ 27 = 3^3 < 32 \cdot 2^4 = 2^9 < e^9 \] il che ci assicura proprio $x_0 > 1$. D'altra parte si verifica altrettanto facilmente che \[ x_0 < 2 \Leftrightarrow 3 > e \] Quindi possiamo stabilire che: $x_0\in(1,2)$. Sappiamo quindi che $y$ è monotona strettamente crescente solo per $x > x_0$, ed è monotona strettamente decrescente per $x < x_0$: in particolare, $x_0$ è un punto di minimo assoluto per $y$. Studiando i limiti di $y$ agli estremi del dominio \begin{equation}\label{lims}\tag{Ls} \begin{split} &\lim_{x\to-\infty} 3^x - 9x = +\infty \\ & \\ &\lim_{x\to+\infty} 3^x - 9x = \lim_{x\to+\infty} 3^x\left(1 - \frac{9x}{3^x}\right) = +\infty \end{split} \end{equation} si scopre che se fosse $y(x_0) < 0$ allora potremmo garantirci, in forza della monotonia di $y$ dalla sinistra e dalla destra di $x_0$, l'esistenza di due zeri per $y$ e due soltanto. Vediamo quindi una stima per $y(x_0)$. Innanzitutto: \[ y(x_0) = \frac{9}{\ln 3} - 18 + \log_3(\ln 3) \] da cui si trova che, essendo $\ln 3 > 1$ e $\log_3(\ln 3) > 0$ e $\log_3(\ln 3) < 1$ (verifica facile da $2 < e < 3$), è \[ y(x_0) < 0 \Leftrightarrow 9 < 17\cdot \ln 3 \] il che ci permette di concludere proprio $y(x_0) < 0$. Quindi abbiamo tutti gli elementi per poter garantire, da quanto sopra, che esistono due sole soluzioni distinte, diciamole $x_1,x_2$ con $x_1 < x_2$ all'equazione \eqref{esp1}. Per una stima su $x_1$ ci serviamo di due punti "facili" sul dominio di $y$: \begin{equation} \begin{split} &y(0) = 3^0 - 9\cdot 0 = 1 > 0 \\ & \\ &y(1/2) = \sqrt{3} - \frac{9}{2} < 0 \Leftrightarrow 3 < \frac{9}{4}\cdot 9 \end{split} \end{equation} ed essendo $\frac{9}{4} > 1$ la seconda limitazione è soddisfatta. Pertanto possiamo stabilire per il primo zero di $y$ la seguente stima: $x_1 \in (0,\frac{1}{2})$. Per il secondo zero, possiamo già dire che è $x_2 > x_0$ da quanto visto sopra, quindi certamente è $x_2 > 1$. Ora però è anche immediato osservare come $x = 3$ sia una soluzione della \eqref{esp1} (lo vedi ad occhio!), e allora essendo unica la soluzione per $x > 1$ deve essere proprio $x_2 = 3$.
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Wed, 05 Feb 2014 18:09 GMT