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Studiare l'andamento delle seguenti funzioni: \begin{equation}\label{y1} y_1(x) = \exp\left(\sqrt{\frac{1-x}{x+2}}\right) \end{equation} \begin{equation}\label{y2} y_2(x) = \arcsin(\sqrt{x-x^2}) \end{equation} Svolgimento di \eqref{y1}. Il dominio di \eqref{y1} è per $\frac{1-x}{x+2} \ge 0$ ed $x\neq -2$ cioè: \[ D(y_2) = \{x|x\in R : -2 < x \le 1 \} \] La \eqref{y1} non interseca l'asse $y = 0$ perché un'esponenziale reale è positiva in tutto il suo dominio (quindi la positività è già mostrata); interseca l'asse $x = 0$ in $(0,e^{\sqrt{1/2}})$. Banalmente si verifica che \[ \lim_{x\to -2^+} y_1(x) = +\infty \] il che mostra come $x = 2$ sia un asintoto verticale, e inoltre la continuità di $y_1$ garantisce che \[ \lim_{x\to 1^-} y_1(x) = y_1(1) = 1 \] Per la derivata prima si ottiene (calcoli di verifica lasciati al lettore): \[ y'_1(x) = -\frac{3}{2}y_1(x)\frac{1}{\sqrt{(1-x)(x+2)^3}} \] che è definita soltanto per $-2 < x < 1$. La derivata prima è pertanto sempre negativa nel suo dominio di definizione (verifica lasciata al lettore), quindi $y_1$ è monotona strettamente decrescente. Per i limiti della derivata prima agli estremi del dominio (non ci sono forme di indecisione nei limiti): \[ \lim_{x\to -2^+} y'_1(x) = -\infty \] e \[ \lim_{x\to 1^-} y'_1(x) = -\infty \] Si badi che l'espressione ricavata per $y'_1$ è stata ottenuta dal Teorema della Derivata della Funzione Composta, quindi non possiamo a priori dire nulla sull'eventuale derivabilità monolatera della funzione nell'unico punto estremo del dominio incluso nel dominio stesso, e cioè in $x = 1$: infatti questo fatto peculiare è conseguenza della derivabilità di tutte le funzioni "intermedie" che compongono la $y_1$, come è necessario che sia per applicare il suddetto teorema. Una verifica circa la derivabilità di $y_1$ in $x = 1$ possiamo farla con la definizione (monolatera), cioè con il limite del rapporto incrementale per incremento $h\to 0^-$ (verifica dei calcoli lasciata al lettore): \begin{equation}\label{dermon1} \begin{split} &\lim_{h\to 0^-} \frac{y_1(1+h) - y_1(1)}{h} = \\ &= \lim_{h\to 0^-}\frac{1}{h} \left\{ \exp\left(\sqrt{\frac{-h}{3+h}}\right) - 1 \right\} = \\ &= \lim_{k\to 0^+}\left(-\frac{1+k^2}{3k}\frac{e^k - 1}{k}\right) = -\infty \end{split} \end{equation} dove nell'ultimo passaggio ho cambiato variabile incrementale definendo \[ k := \sqrt{\frac{-h}{3+h}} \] da cui ricavare (calcoli lasciati al lettore) l'espressione per $h$ in termini di $k$: \[ h = -\frac{3k^2}{1+k^2} \] Questo trucchetto mi ha permesso di ricondurre il calcolo del limite \eqref{dermon1} ad un limite notevole (più un fattore che diverge a $-\infty$). In alternativa si poteva provare con il Teorema di Hospital, per il quale $y_1$ soddisfa le ipotesi: tuttavia ritengo più elegante l'approccio fatto sopra, sebbene Hospital tecnicamente si dimostrerebbe prima ancora che il suddetto limite notevole (se siete curiosi su questo fatto ne parleremo in chat sul canale #matematica). La \eqref{dermon1} dimostra che $y_1$ non è derivabile da sinistra in $x = 1$. Come curiosa osservazione si badi che l'essere $y_1$ monotona decrescente strettamente, ed i valori dei limiti della sua derivata prima agli estremi del dominio, fanno sospettare che $y_1$ cambi concavità almeno una volta, ma la verifica di questo fatto può avvenire soltanto con la derivata seconda che qui è omessa. Infine per $y_1$ possiamo dire che ammette un unico valore di minimo assoluto, nel punto $x = 1$: questo fatto non discende dallo studio del segno di $y'_1$, perché è sufficiente vedere come tale derivata abbia segno costante negativo! Poi chiaramente è banale verificare come $y_1$ non possieda simmetrie né di parità né di disparità, ed essa inoltre non è superiormente limitata. Svolgimento di \eqref{y2} Il dominio D(y_2) è dato dalle condizioni: \begin{equation}\label{domy2} x-x^2 \ge 0,\quad \sqrt{x-x^2} \le 1 \end{equation} dove la seconda condizione è necessaria perché bisogna ricordare che la funzione $\arcsin$ deve ricevere argomenti di valore compreso tra $-1$ e $+1$: il primo valore è escluso in questo caso perché $y_2$ riceve come argomento un radicale algebrico con indice pari, il che garantisce a questo la sua positività a priori. La prima delle \eqref{domy2} porge la condizione \[ 0\le x \le 1 \] mentre la seconda, quadrando ambo i membri, porta ad un polinomio per il quale si richiede la condizione: \[ P(x) := x^2 - x + 1 \ge 0 \] Come risulta dal calcolo delle radici, che sono complesse-coniugate, $P(x)$ è irriducibile su R, il che significa che non possiamo ulteriormente fattorizzarlo in prodotto di termini lineari (polinomi di primo grado). Il segno di questo polinomio è facilmente determinato, perché il termine di grado massimo ha coefficiente positivo: quindi non essendoci radici reali, $P(x)$ è sicuramente positivo per tutti gli $x$ reali, e quindi la condizione che si imponeva sul segno di $P(x)$ è certamente già soddisfatta! Ricapitolando, la discussione fatta qui sopra ci porta ad avere che \[ D(y_2) = \{x | x\in R : 0\le x \le 1\} \] Per l'intersezione con l'asse $x = 0$ si ha \[ \arcsin 0 = 0 \] Per l'intersezione con l'asse $y = 0$ si ha \[ \begin{split} &\arcsin(\sqrt{x-x^2}) = 0 \Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x-x^2} = \sin 0 = 0 \Leftrightarrow x(x-1) = 0\Leftrightarrow \\ &\Leftrightarrow x = 0;1 \end{split} \] Quindi $y_2$ interseca l'asse $x = 0$ nel punto $(0,0)$; interseca l'asse $y = 0$ nei punti $(0,0),(1,0)$. Per la positività di $y_2$ basta considerare che essa avviene solo per argomento positivo della funzione $\arcsin$, da cui si ottiene (verifica lasciata al lettore) che $y_2$ è positiva su tutto il suo dominio. Per la derivata prima, i calcoli portano a \[ y'_2(x) = \frac{1}{2} \frac{(1-2x)} {\sqrt{x-x^2}\sqrt{1-(x-x^2)}} \] che non è definita per $x = 0;1$. Si stabilisce che la positività di $y'_2$ è solo per $x < \frac{1}{2}$ (verifica lasciata al lettore). Quindi: $y_2$ è monotona strettamente crescente per $0 \le x < \frac{1}{2}$, è monotona strettamente decrescente per $\frac{1}{2} < x \le 1$. Nel punto $x = \frac{1}{2}$ si ha un massimo assoluto nel quale: \[ y_2(1/2) = \arcsin(1/2) = \frac{\pi}{6} \] I limiti della derivata prima agli estremi del dominio forniscono banalmente questi valori: \[ \lim_{x\to 0^+} y'_2(x) = +\infty \] e \[ \lim_{x\to 1^-} y'_2(x) = -\infty \] Con Hospital, per verificare la derivabilità di $y_2$ negli estremi del suo dominio, possiamo stabilire che: \[ \begin{split} &\lim_{h\to 0^+} \frac{y_2(0+h) - y_2(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{y_2(h)}{h} =\\ &= \lim_{h\to 0^+} \frac{D_h y_2(h)}{D_h h} = \lim_{h\to 0^+} y'_2(h) = +\infty \end{split} \] (qui $D_h$ denota la derivata rispetto ad $h$) da cui si ottiene che $y_2$ non è derivabile a destra in $x = 0$. In modo analogo (verifica lasciata al lettore) si ottiene che \[ \begin{split} &\lim_{h\to 0^-} \frac{y_2(1+h) - y_2(1)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{y_2(1+h)}{h} =\\ &= \lim_{h\to 0^-} \frac{D_h y_2(1+h)}{D_h h} = \lim_{h\to 0^-} D_h y_2(1+h) =\\ &= \lim_{h\to 0^-} -\frac{1}{2} \frac{1+2h} {\sqrt{(1+h)-(1+h)^2} \sqrt{1 - [(1+h) - (1+h)^2]}} = -\infty \end{split} \] da cui si trova che $y_2$ non è derivabile da sinistra in $x = 1$.
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Sun, 26 Jan 2014 21:55 GMT