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Trovare i valori dei parametri $a$ e $b$ tali che la funzione definita come

\begin{equation}\label{funz}\tag{F}
f(x) =
\begin{cases}
2a \ e^x &, x < 0 \\
 & \\
\frac{x+a}{b-x} &, x \ge 0
\end{cases}
\end{equation}

è derivabile in $x_0 = 0$.

Svolgimento.

Il limite del rapporto incrementale in $x_0 = 0$ per $h\to 0^-$ è dato da:

\begin{equation}\label{limsx}\tag{$\ell^-$}
\lim_{h\to 0^-} \frac{a (2b \ e^h - 1)}{hb},
\end{equation}

dove si noti che (richiamo banale ma tipico per questi casi di "funzioni definite per casi") per valutarlo dobbiamo considerare $f(x_0 + h)$, cioè $f(h)$ e con $h$ sempre negativo! Per cui l'espressione da usare di $f(h)$ arriva da quella in alto dentro \eqref{funz}; inoltre, siccome dobbiamo valutare $f(x_0)$ cioè $f(0)$, ci serve anche l'espressione di $f$ in basso dentro \eqref{funz}. Osserviamo che non ho valutato subito il valore della \eqref{limsx} (questo però in genere andrebbe calcolato, è solo che questo è un caso un po' particolare poiché il valore di questo limite dipende da parametri, ma anche perché la possibilità di ricondursi all'uso di un limite notevole qui è fortemente condizionata dal parametro $b$).

Il limite del rapporto incrementale in $x_0$ per $h\to 0^+$ è dato da (calcoli lasciati al lettore, ricordando come scegliere le espressioni di $f$ !):

\begin{equation}\label{limdx}\tag{$\ell^+$}
\lim_{h\to 0^+} \frac{a+b}{b(b-h)} = \frac{a+b}{b^2}.
\end{equation}

Ora, la derivabilità si avrà solo se:

\begin{equation}\label{limsxdx}\tag{D}
\ell^- = \ell^+
\end{equation}

Una condizione evidentemente necessaria affinché $f$ sia derivabile è che entrambi i due limiti monolateri esistano, come numeri reali, e quindi è già chiaro che \eqref{limsx} esiste solo se:

\begin{equation}\label{param}\tag{P}
a = 0\text{ oppure } b = \frac{1}{2},
\end{equation}

infatti la prima condizione ($a = 0$) è banale, perché ci assicura indipendentemente dal valore di $b$ che il limite esista (ed, in particolare, sia uguale a zero); la seconda condizione ($b = \frac{1}{2}$) è necessaria per ricondursi ad un limite notevole finito dove il numeratore tenda a zero (tutti gli altri valori di $b$ non sarebbero tali da mandare a zero la quantità $2b \ e^h - 1$ e quindi li escludiamo, altrimenti il limite di \eqref{limsx} è infinito).

Fatte queste precisazioni, discutiamo cosa accade per i valori critici di $a$ e $b$ stabiliti nella \eqref{param}. Innanzitutto se $a = 0$ la \eqref{limdx} porge il valore $\frac{1}{b}$ come valore del limite del rapporto incrementale da destra, che è sempre diverso da zero e quindi incompatibile, attraverso la \eqref{limsxdx}, con la \eqref{limsx}. Quindi non può essere $a = 0$. Allora deve essere $b = \frac{1}{2}$ per esclusione.
In tal caso la \eqref{limsx} porge il valore dato da

\begin{equation}\label{limsx2}\tag{$\ell^-b$}
2a\cdot\lim_{h\to 0^-} \frac{e^h - 1}{h} = 2a
\end{equation}

Quindi la condizione di derivabilità ora si traduce più semplicemente nell'imporre:

\begin{equation}\label{deriv}\tag{D2}
2a = \frac{a + \frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}
\end{equation}

da cui si ottiene $a = -1$. Quindi $f$ è derivabile in $x_0$ solo se $a = -1$ e $b = \frac{1}{2}$. Per questi valori dei parametri, inoltre, risulta $f'(0) = -2$, usando la \eqref{limsx2}.

Fri, 03 Jan 2014 18:05 GMT