MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Trovare tutte le soluzioni dell'equazione

\begin{equation}\label{esp}
5^x + 3^x = 34
\end{equation}

Svolgimento.

Questo esercizio è un po' particolare, perché non è un "classico" esercizio sulle equazioni esponenziali e infatti il procedimento di risoluzione sfrutta la monotonia delle funzioni esponenziali.

Possiamo riscrivere la \eqref{esp} come:

\begin{equation}\label{esp-bis}\tag{$\star$}
5^x - 5^2 = 3^2 - 3^x
\end{equation}

La nostra equazione \eqref{esp-bis} richiede l'eguaglianza tra due quantità, per cui una condizione necessaria affinché risulti vera tale condizione è che ambo i membri possiedano lo stesso segno. Ora sfruttando il fatto che le funzioni esponenziali a base $a > 1$ (come nel nostro caso) sono monotone strettamente crescenti, abbiamo che:

\[
\begin{split}
& 5^x - 5^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2 \\
& 5^x - 5^2 > 0 \Leftrightarrow x > 2
\end{split}
\]

e similmente

\[
\begin{split}
& 3^2 - 3^x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2 \\
& 3^2 - 3^x > 0 \Leftrightarrow x < 2
\end{split}
\]

Per cui l'unica possibilità in cui ambo i membri della \eqref{esp-bis} abbiano lo stesso segno si ha per $x = 2$. Se sostituiamo $x = 2$ in tale equazione, essa viene soddisfatta ed è quindi l'unica soluzione esistente, per quanto osservato sopra.

Wed, 18 Dec 2013 18:12 GMT