MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Problem
--
*(tomast80)*

Bestäm \(n\) så att följande gränsvärde blir ändligt och skilt från noll. Beräkna även gränsvärdet.
\[
\lim_{x\to0} \frac{x\ln(1+x)+2\cos(x)+\frac{1}{2}x^3-2}{(1+x^n)^{1/n}-1}.
\]

Lösningsförslag
--
*(Math-Nerd)*

Då
\begin{align*}
\ln(1+x)&=x-\tfrac12x^2+\tfrac13x^3-\tfrac14x^4+O(x^5),\\
\cos(x)&=1-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4+O(x^6),
\end{align*}
har vi att täljaren \(T\) ges av
\begin{align*}
T
&
=x\ln(1+x)+2\cos(x)+\tfrac{1}{2}x^3-2
\\&
=x\bigl(x-\tfrac12x^2+\tfrac13x^3-\tfrac14x^4+O(x^5)\bigr)
+2\bigl(1-\tfrac12x^2+\tfrac1{24}x^4+O(x^6)\bigr)
+\tfrac{1}{2}x^3-2
\\&
=x^2-\tfrac12x^3+\tfrac13x^4-\tfrac14x^5+O(x^6)
+2-x^2+\tfrac1{12}x^4+O(x^6)+\tfrac{1}{2}x^3-2
\\&
=\tfrac{5}{12}x^4+O(x^5).
\end{align*}
Vidare har vi att nämnaren \(N\) ges av
\[
N=(1+x^n)^{1/n}-1=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}\biggl(\prod_{i=0}^{k-1}(\tfrac{1}{n}-i)\biggr)(-1)^kx^{nk}.
\]
Den första termen (\(k=1\)) i ovanstående summa innehåller \(x^n\) varför vi sätter \(n=4\). Resterande termer grupperas i \(O(x^8)\);
\[
N
=\frac{1}{1!}\biggl(\prod_{i=0}^{1-1}(\tfrac{1}{4}-i)\biggr)(-1)^1x^4+O(x^8)
=-\tfrac{1}{4}x^4+O(x^8)
\]
varför det sökta gränsvärdet är
\[
\lim_{x\to0}\frac{T}{N}
=\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{5}{12}x^4+O(x^5)}{-\tfrac{1}{4}x^4+O(x^8)}
=\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{5}{12}+O(x)}{-\tfrac{1}{4}+O(x^4)}
=\frac{\tfrac{5}{12}}{-\tfrac{1}{4}}
=-\frac{5}{3}.
\]

Svar: \(n=4\) och gränsvärdet är \(-5/3\).

Sun, 02 Jan 2022 20:38 GMT