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Oui ça tu as tout à fait le droit, par contre attention, la norme c'est pas $\mathbb{E}(|X_n - X|^p)$ mais $\left(\mathbb{E}(|X_n - X|^p)\right)^{\frac{1}{p}}$. En effet tu peux voir que $\mathbb{E}(|X_n - X|^p)$ c'est pas une norme car si tu multiplies $X_n$ et $X$ par $\lambda >0$ tu obtiens $\lambda^p \ \mathbb{E}(|X_n - X|^p)$ alors que les normes c'est homogène de degrès 1, c'est à dire que quand tu multiplies par $\lambda$ c'est $\lambda$ qui sort (à la puissance 1). Tu vois que ça ça fonctionne avec $$ \left(\mathbb{E}(|\lambda X_n - \lambda X|^p)\right)^{\frac{1}{p}} = \lambda \ \left(\mathbb{E}(|X_n - X|^p)\right)^{\frac{1}{p}} $$ Pour le calcl de l'espérance, tu utilises la formule des probas totales : $$ \mathbb{E}(|X_n|^p)=0^p \times \mathbb{P}(X_n=0)+ 1^p \times \mathbb{P}(X_n=1)=0 \times (1- \frac{1}{n})+ 1 \times \frac{1}{n} =\frac{1}{n} \xrightarrow{n\to \infty}0 $$
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Tue, 21 Mar 2023 19:19 GMT