MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

**Определение 1:** Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого значения аргумента $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x)=f(x)$. График чётной функции симметричен относительно центра координат.

**Определение 2:** Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого значения аргумента $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x)=-f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси координат.

**Определение 3:** Функция $f(x)$ называется функцией общего вида, если её нельзя назвать ни чётной, ни нечётной. График функции общего вида симметрией не обладает.

**Определение 4:** Определить чётность и нечётность функции $f(x)$ означает определить, является ли она чётной, нечётной или общего вида.

---

1) Определить чётность и нечётность функции $y=\frac{x^3-x}2$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=\frac{(-x)^3-(-x)}2=\frac{-x^3+x}{2}=-f(x)$$

Следовательно, функция нечётная.

---

2) Определить чётность и нечётность функции $y=\frac{x^3}{x^2+2}$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+2}=-\frac{x^3}{x^2+2}=-f(x)$$

Следовательно, функция нечётная.

---

3) Определить чётность и нечётность функции $y=3+x^2-2x^4$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=3+(-x)^2-2(-x)^4=3+x^2-2x^4=f(x)$$

Следовательно, функция чётная.

---

4) Определить чётность и нечётность функции $y=x^3\cos x$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=(-x)^3\cos (-x)=-x^3\cos x=f(x)$$

Следовательно, функция чётная.

---

5) Определить чётность и нечётность функции $y=x^2+\cos x$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=(-x)^2+\cos (-x)=x^2+\cos x=f(x)$$

Следовательно, функция чётная.

---

6) Определить чётность и нечётность функции $y=\frac1{2\sin x+1}$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=\frac1{2\sin (-x)+1}=-\frac1{2\sin x+1}=-f(x)$$

Следовательно, функция нечётная.

---

7) Определить чётность и нечётность функции $y=\frac{\sin x}{1+\cos x}$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=\frac{\sin (-x)}{1+\cos (-x)}=-\frac{\sin x}{1+\cos x}=-f(x)$$

Следовательно, функция нечётная.

---

8) Определить чётность и нечётность функции $y=\sin2x+\cos x+1$.

Проверим функцию на чётность.

$$f(-x)=\sin(2(-x))+\cos(-x)+1=-\sin2x+\cos x+1$$

Выходит, что $f(-x)\neq f(x)$, поэтому функцию нельзя назвать чётной. Также $f(-x)\neq -f(x)$, поэтому функцию нельзя назвать и нечётной.

Следовательно, это функция общего вида.

Sun, 26 Sep 2021 11:44 GMT