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(a) L'equazione $$ f(x)=\frac{(x-1)(x-5)}{x^2}=\lambda $$ è equivalente a $$ (1-\lambda)x^2-5x+6 = 0 $$ che per $\lambda\neq 1$ ha discriminante $4(4+5\lambda)$. Segue che $f(x)$ assume il valore $-\frac{4}{5}$ solo in $x=\frac{5}{3}$; $f(x)$ assume il valore $1$ solo in $x=\frac{5}{6}$ e tutti gli altri valori maggiori di $-\frac{4}{5}$ sono assunti esattamente due volte. (b) Per il punto precedente l'equazione $f(x)=2002$ ha due soluzioni, collocate in intorni di raggio $0.002$ di $\pm 0.05$. Sempre dal punto precedente, abbiamo che $f(f(x))=2002$ ha quattro soluzioni: due che cadono in prossimità di $x=1$ (una alla destra e una alla sinistra) e due che cadono in prossimità di $x=5$ (una alla destra e una alla sinistra). Questi ultimi quattro valori sono certamente maggiori di $-\frac{4}{5}$ e distinti da $1$ (in quanto $1$ non appartiene al dominio di $f\circ f$), dunque $f(f(f(x)))=2002$ ha $8$ soluzioni.
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Sun, 05 Sep 2021 15:45 GMT