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**Esercizio 2.**  Se $p(x)$ è un polinomio di secondo grado per cui $p(2)=1,  p(3)=2$  e  $p(4)=5$, quanto valgono $p(1)$ e $p(5)$ ?

Questo problema può essere affrontato anche attraverso il Teorema di Ruffini e le divisioni polinomiali (Teorema cinese del resto, non per numeri ma per polinomi).

Se i valori di $p(x)$ nei punti $2,3,4$ sono $1,2,5$ allora i valori di $p(x)-1$ nei punti $2,3,4$ sono $0,1,4$. Dal Teorema di Ruffini segue che $p(x)-1$ è un multiplo di $(x-2)$:

$$ p(x)-1 = (x-2)\cdot q(x) $$

$q(x)$ è necessariamente un polinomio di grado $1$ e sostituendo $x=3$ e $x=4$ nella precedente uguaglianza abbiamo che

$$ 1 = p(3)-1 = q(3),$$
$$ 4 = p(4)-1 = 2\cdot q(4)$$
dunque $q(x)$ è un polinomio di primo grado che soddisfa $q(3)=1$ e $q(4)=2$. Segue che $q(x)=x-2$ e pertanto

$$ p(x)-1 = (x-2)^2,\qquad p(x)=(x-2)^2+1 $$
da cui $p(1)=2$ e $p(5)=10$. Anche in questo caso ce la siamo sbrigata con $12$ operazioni elementari.

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Se abbiamo un problema di estrapolazione polinomiale con un polinomio di grado relativamente grande ($d\geq 3$) i metodi risolutivi che abbiamo visto si classificano per "convenienza computazionale" sul seguente podio:

1. Metodo delle differenze in avanti
 2. Applicazione del Teorema di Ruffini / Teorema cinese del resto
 3. Risoluzione di un sistema lineare per eliminazione

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Fri, 19 Mar 2021 09:37 GMT