MathB.in - Share Mathematics with LaTeX and Markdown

Definiera funktionen $D : \mathcal C^n(\mathbb R) \to \mathcal C^{n-1}(\mathbb R) $ som en linjär operator $D := \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n }$ där $D$ verkar på ett funktion $f \in \mathcal C^n(\mathbb R)$, vilket vi väljer att skriva som $D[f]$.

Betrakta nu den homogena ekvationen $D[f] = 0$. Samtliga element $f \in \mathcal C^n(\mathbb R)$ som löser $D[f] = 0$ kan skrivas på formen $f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n q_k(x) e^{r_k x}$ där $q_k \in \mathbb C[x]$ är ett polynom. $r_k$ samt graden av $q_k$ låter sig definieras av nollställena $\{r_1, r_2, r_3, \ldots, r_m\}$ till ekvationen $p(r) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k r^k  = 0$. Graden av $q_k$ väljs sådant att den är lika med den algebraiska multipliciteten $m(r_k)$ av $r_k$.

Ansätt $f(x) = z(x) e^{wx}$ för något $w \in \mathbb C.$ Enligt Leibniz formel $(gh)^{(k)} = \displaystyle\sum_{j=0}^k {k \choose j} g^{(k-j)} h^{(j)}$ ser att $f^{(k)}(x) = \displaystyle\sum_{j=0}^k {k \choose j} (e^{wx})^{(k-j)} z^{(j)} = \displaystyle\sum_{j=0}^k {k \choose j} w^{(k-j)^n} e^{wx} z^{(j)} = e^{wx} \displaystyle\sum_{j=0}^k {k \choose j} w^{(k-j)^n} z^{(j)}.$

Insättning av detta i $D[f]=0$ ger $D[z(x) e^{wx}] = e^{wx} \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^k {k \choose j} w^{(k-j)^n} z^{(j)} = 0,$ eller eftersom $e^{wx} \neq 0$ för alla $x,$ $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \sum_{j=0}^k {k \choose j} w^{(k-j)^n} z^{(j)} = 0.$ Betrakta termen framför $z$, det vill säga de termer som uppstår exakt när $j=0$.

Termen i summan då $j =0$ är lika med $\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k {k \choose 0} w^{k^n} = $

Tue, 12 Jun 2018 01:07 GMT