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Sei 
$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0&\ldots&0\\
0&0&1&0&\ldots&0\\
0&0&0&1&\ldots&0\\
0&0&0&0&\ldots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&0&\ldots&1\\
0&0&0&0&\ldots&0\\
\end{pmatrix}$$
eine $n\times n$-Matrix.
Also, $M_{i,j}=1$ genau dann, wenn $j-i=1$, sonst 0.
Nun gilt Folgendes: $M^k_{i,j}=1$ genau dann, wenn $j-i=k$, sonst 0.

Wir beweisen dieses mit vollständiger Induktion nach $k$. Der Fall $k=0$ und $k=1$ sind klar.

Nun, sei $k$ eine beliebige natürliche Zahl. $M^k=M\cdot M^{k-1}$, daraus folgt, dass der Zelleintrag $M^k[i,j]=\sum_{r=1}^n M[i,r]\cdot M^{k-1}[r,j]$ keine andere Zahl als Null sein kann, wenn die beiden Zahlen $M[i,r]$ und $M^{k-1}[r,j]$ ungleich 0 sind. Aus der Induktionsannahme folgt, dass diese Bedingung genau dann gilt, wenn $r-i=1$ und $j-r=k-1$, also gilt $r=1+i=j-k+1$, und zwar $j-i=k$.

Mithilfe dieses Ergebnisses ist es auch klar, dass $A^{m-1}\neq0$ (es gibt einen 1 in der letzten Position der ersten Zeile), aber $A^m=0$, und das ist gültig auch für größere Potenzen.

Wed, 09 May 2018 06:42 GMT