Abhängigkeit des Optimums von der Nebenbedingung

Rainald Koch

Maximiere das Volumen $V = \pi r^2h$ eines Zylinders unter folgenden alternativen Nebenbedingungen:
a) gegebene Oberfläche $A = 2\pi r(h+r)$,
b) gegebener Umfang $ U = 4r + 2h $ des Längsschnitts (entspricht Zylinder in Kegel),
c) gegebener Abstand $ R = \sqrt{r^2 + (h/2)^2} $ der Kanten vom Schwerpunkt (Zylinder in Kugel).

Gib das Ergebnis jeweils als $h/r$ an.

Zu a) $$ h(r, A) = \frac {A}{2\pi r}-r$$ $$ V(r, A) = \pi r^2\left(\frac {A}{2\pi r}-r\right) = \frac {A}{2}r-\pi r^3$$ $$ \frac {\mathrm dV}{\mathrm dr} = 0 = \frac {A}{2} - 3\pi r^2 $$ $$ r^2 = A/6\pi $$ $$ h/r = \frac {A}{2\pi (A/6\pi)}-1 = 2$$

Zu b) $$ h(r, U) = (U-4r)/2$$ $$ V(r, U) = \pi r^2(U-4r)/2$$ $$ \frac {\mathrm dV}{\mathrm dr} = 0 = \pi r(U - 6r)$$ $$ r = U/6 = h $$ $$ h/r = 1 $$

Zu c) $$ h(r, R) = 2\sqrt{R^2-r^2}$$ $$ V(r, R) = 2\pi r^2\sqrt{R^2-r^2}$$ $$ \frac {\mathrm dV}{\mathrm dr} = 0 = -\pi\frac{4R^2r-6r^3}{\sqrt{R^2-r^2}}$$ $$ r^2 = \tfrac 2 3 R^2 $$ $$ h/r = 2\sqrt{\tfrac 3 2 -1} = \sqrt 2 $$

Sunday, 8 April 2018 17:07 GMT