Studio di funzione con inversa locale e rette tangenti

doctor

Data la funzione

\begin{equation}\label{funz} f(x) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2-2}} \end{equation}

farne lo studio di funzione e, posto $B = (\sqrt{2},+\infty)$ verificare che su $B$ la funzione è invertibile, studiarne il grafico dell'inversa come sottoinsieme del medesimo sistema cartesiano. Verificare che il grafico di $f$, detto $\gamma$, e il grafico di $b^{-1}$ (l'inversa di $f|B$) detto $\gamma1$ si intersecano in un solo punto di ascissa in $B$, e scrivere le equazioni delle rette tangenti ai due grafici in quel punto.

Svolgimento.

Il dominio di $f$ è dato da

\begin{equation}\label{domf} D(f) = (-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty) \end{equation}

La positività di $f$ è: ovunque nel suo dominio.

I limiti alla frontiera del dominio valgono:

\begin{equation}\label{limf} \begin{split} &\lim{x\to\pm\sqrt{2}} f(x) = +\infty \ &\lim{x\to\pm\infty} f(x) = 1 \end{split} \end{equation}

sicché $x = \pm\sqrt{2}$ sono due asintoti verticali, mentre $y = 1$ è asintoto orizzontale a $\pm\infty$.

La derivata prima di $f$ è tale da non portare alcun punto stazionario, sempre positiva per $x < -\sqrt{2}$ e sempre negativa per $x > \sqrt{2}$. Quindi $f$ è monotona in $B$, ed è pertanto ivi invertibile.

La derivata seconda di $f$ è sempre strettamente positiva: quindi la concavità è rivolta verso l'alto, e non vi sono flessi obliqui o verticali.

La funzione inversa locale $b^{-1} = p$, espressa in modo da poterne studiare il grafico sullo stesso sistema cartesiano di $f$ prende la forma:

\begin{equation}\label{invloc} p(x) = \sqrt{\frac{2x^2}{x^2-1}} \end{equation}

per quanto riguarda il dominio, sappiamo già che è $B$, e per quanto riguarda il segno è immediato che esso sia positivo (la \eqref{invloc} è stata ottenuta invertendo la \eqref{funz} e considerandone solo la soluzione con segno positivo, poiché $B$ è nel semiasse positivo delle $x$). In realtà il dominio di $p$ potrebbe essere un po' più grande, poiché come mostra la \eqref{invloc} la funzione inversa è definita su $(1,+\infty)$: ci riferiremo a questo dominio per alcune considerazioni ai limiti.

\begin{equation}\label{limp} \begin{split} &\lim{x\to 1} p(x) = +\infty \ &\lim{x\to +\infty} p(x) = \sqrt{2} \end{split} \end{equation}

Quindi $x=1$ è asintoto verticale, mentre $y = \sqrt{2}$ è asintoto orizzontale a $+\infty$.

Per la derivata prima di $p$ basta osservare quanto segue, per il teorema della derivata della funzione inversa:

\begin{equation} \begin{split} &\frac{d}{dx}p(x) = \left.\frac{1}{\frac{d}{dy}f(y)}\right|_{y = p(x)} \ &\frac{d^2}{dx^2}p(x) = -\frac{\frac{d^2}{dy^2}f(y)}{(\frac{d}{dy}f(y))^2}\cdot\frac{d}{dx}p(x) \end{split} \end{equation}

per cui i segni delle derivate prima e seconda di $p$ sono già determinati da quelli delle derivate di $f$. Risulta quindi: $p$ monotona decrescente su $B$, e visti i limiti alla frontiera del dominio si deduce l'esistenza di un unico punto di intersezione tra i grafici di $f$, cioè $\gamma$, e di $p$, cioè $\gamma_1$.

L'equazione da risolvere rispetto ad $x$, per trovare l'ascissa $x_0 > 0$ del punto di intersezione, è

\begin{equation}\label{puntoint} \frac{x}{\sqrt{x^2-2}} = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{x^2-1}} \end{equation}

e va sostituita in $p(x)$ (o equivalentemente in $f(x)$) per ottenere $y_0$, l'ascissa del punto di intersezione.

I coefficienti angolari delle rette tangenti a $\gamma$ e $\gamma_1$ sono, rispettivamente, dati da

\begin{equation}\label{coeffm} m = f'(x0),\quad m1 = p'(x_0) \end{equation}

e dalle relazioni

\begin{equation}\label{rette} \frac{y-y0}{x-x0} = m,\quad \frac{y-y0}{x-x0} = m_1 \end{equation}

si determinano le rette volute.

Tuesday, 17 June 2014 21:44 GMT