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Lasciamo cadere un sasso in un pozzo e sentiamo dopo $T = 2.1s$ il rumore dell'impatto con l'acqua. Sapendo che la velocità del suono nell'aria è $v_s = 340m/s$, determina la profondità del pozzo.

Suggerimenti: In fase di discesa il moto è uniformemente accelerato con partenza da fermo e dura un certo intervallo di tempo $t_d$; in fase di risalita il suono si muove di moto rettilineo e uniforme raggiungendo la sommità del pozzo in un intervallo di tempo $t_r$.

Svolgimento.

E' chiaro che l'intervallo di tempo da quando lasciamo cadere il sasso a quando udiamo il suono è

\begin{equation}\label{tempotot}\tag{T}
T = t_d + t_r
\end{equation}

Per il moto del sasso possiamo scrivere l'equazione

\begin{equation}\label{sasso}\tag{S}
h = \frac{1}{2}gt_d^2
\end{equation}

dove $h$ è la profondità del pozzo. Ma per quanto riguarda il suono possiamo scrivere l'equazione

\begin{equation}\label{suono}\tag{s}
h = v_s t_r
\end{equation}

ma nella \eqref{suono} sostituiamo la \eqref{tempotot} risolta rispetto a $t_r$ e quindi la \eqref{suono} diventa:

\begin{equation}\label{suono2}\tag{s2}
h = v_s ( T - t_d )
\end{equation}

A questo punto se eguagliamo i secondi membri della \eqref{sasso} e della \eqref{suono2} otteniamo un'equazione algebrica di secondo grado nell'incognita $t_d$, cioè precisamente questa:

\begin{equation}\label{eq-ritorno}\tag{R}
\frac{1}{2}gt_d^2 + v_s t_d - v_s T = 0
\end{equation}

la cui formula risolutiva porge:

\begin{equation}\label{tempo-discesa}\tag{$t_d$}
t_d = \frac{-v_s \pm \sqrt{v_s^2 +2gv_s T}}{g}
\end{equation}

da cui otteniamo (svolgendo i calcoli con i dati in nostro possesso): $t_d = 2.03s$ e sostituendo nella \eqref{tempotot} viene $t_r = 0.06s$.
Ora basta usare la \eqref{suono} per avere $h = 20.4m$.

Thu, 16 Jan 2014 23:05 GMT